1 вариант 1. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 2. Основание прямой призмы ромб. Диагонали призмы равны 8 см и 5 см, высота 2 см. Вычислите длину стороны основания. 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 м, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Вычислите длину: а) высоты пирамиды; б) стороны основания пирамиды. 2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8√2 дм, высота пирамиды - 15 дм. Вычислите длину бокового ребра. 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2√3 м. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30°. Вычислите длину стороны основания пирамиды. 2 вариант 1. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 и 8 см.

1 вариант

1.

Пусть стороны основания параллелепипеда a = 3 см и b = 5 см, угол между ними γ = 60°, большая диагональ параллелепипеда d = 10 см. Необходимо найти боковое ребро параллелепипеда h.

Квадрат большей диагонали основания равен: \[d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot cos(γ)\]

Подставляем известные значения: \[d^2 = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(60°) = 9 + 25 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49\]

Тогда большая диагональ основания d = √49 = 7 см.

Теперь, зная большую диагональ параллелепипеда и большую диагональ основания, можно найти боковое ребро h.

По теореме Пифагора: \[h^2 = D^2 - d^2\]где D – большая диагональ параллелепипеда.

Подставляем значения: \[h^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51\]

Следовательно, h = √51 см.

2.

Основание прямой призмы – ромб с диагоналями d1 = 8 см и d2 = 5 см, высота призмы H = 2 см. Нужно вычислить длину стороны основания.

Сторона ромба a может быть найдена через его диагонали по формуле: \[a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\]

Подставляем значения: \[a = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 25} = \frac{1}{2} \sqrt{89}\]

Следовательно, a = \(\frac{\sqrt{89}}{2}\) см.

1.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды l = 10 м наклонено к плоскости основания под углом α = 30°.

а) Высота пирамиды h может быть найдена как: \[h = l \cdot sin(α) = 10 \cdot sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\]

Следовательно, h = 5 м.

б) Сторона основания пирамиды a может быть найдена через половину диагонали основания (так как пирамида правильная четырехугольная). Половина диагонали основания равна: \[\frac{d}{2} = l \cdot cos(α) = 10 \cdot cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\]

Так как диагональ квадрата равна a√2, то сторона основания равна: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}\]

Следовательно, a = 5√6 м.

2.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды a = 8√2 дм, высота пирамиды h = 15 дм. Нужно вычислить длину бокового ребра l.

Половина диагонали основания равна: \[\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8\]

Боковое ребро l может быть найдено по теореме Пифагора: \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\]

Следовательно, l = 17 дм.

3.

Высота правильной четырехугольной пирамиды h = 2√3 м. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен β = 30°. Вычислите длину стороны основания пирамиды.

Апофема (высота боковой грани) может быть найдена как: \[a_p = \frac{h}{tan(β)} = \frac{2\sqrt{3}}{tan(30°)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6\]

Так как угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30°, половина стороны основания равна: \[\frac{a}{2} = h \cdot cot(30°) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6\]

Тогда сторона основания равна: \[a = 2 \cdot 6 = 12\]

Следовательно, a = 12 м.