2 вариант 1 Решите уравнения. a) x²-6x - 16 = 0; 6) 12x2 - 5x - 2 = 0; в) 3х-1)(3x + 1)(x - 1)(x + 2) = 8. 3x+1 x-1 г) = 1; x+2 x-2 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен -2y² +5 +7. 3. Сократите дробь. 5a²+3a-2 a²-1 4. Решите задачу, составив уравнение. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой, а площадь равна 84 см². Найдите периметр прямоугольника. 5. Решить уравнение графическим способом. x² = x + 5

2 вариант

1. Решите уравнения.

a) x² - 6x - 16 = 0

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2\]

Ответ: x₁ = 8, x₂ = -2

б) 12x² - 5x - 2 = 0

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}\]

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -1/4

в) (3x - 1)(3x + 1)(x - 1)(x + 2) = 8

\[(9x^2 - 1)(x^2 + x - 2) = 8\] \[9x^4 + 9x^3 - 18x^2 - x^2 - x + 2 - 8 = 0\] \[9x^4 + 9x^3 - 19x^2 - x - 6 = 0\]

Это уравнение четвертой степени, и его решение в общем виде довольно сложно. Можно попытаться найти рациональные корни, но это выходит за рамки обычной школьной программы. Решение можно найти численными методами или с использованием специализированного программного обеспечения.

Ответ: Решение требует численных методов.

г) (3x+1)/(x+2) - (x-1)/(x-2) = 1

\[\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1\] \[\frac{(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1\] \[(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4\] \[3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4\] \[2x^2 - 6x = x^2 - 4\] \[x^2 - 6x + 4 = 0\] \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}\]

Ответ: x₁ = 3 + √5, x₂ = 3 - √5

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен

-2y² + 5y + 7

\[-2y^2 + 5y + 7 = -2(y^2 - \frac{5}{2}y - \frac{7}{2})\] \[D = (\frac{5}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{7}{2}) = \frac{25}{4} + 14 = \frac{25 + 56}{4} = \frac{81}{4}\] \[y_1 = \frac{\frac{5}{2} + \frac{9}{2}}{2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\] \[y_2 = \frac{\frac{5}{2} - \frac{9}{2}}{2} = \frac{-4}{4} = -1\] \[-2(y - \frac{7}{2})(y + 1) = -(2y - 7)(y + 1)\]

Ответ: -(2y - 7)(y + 1)

3. Сократите дробь.

(5a²+3a-2) / (a²-1)

\[5a^2 + 3a - 2\] \[D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\] \[a_1 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\] \[a_2 = \frac{-3 - 7}{10} = -1\] \[5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)\] \[a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\] \[\frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}\]

Ответ: (5a - 2) / (a - 1)

4. Решите задачу, составив уравнение.

Пусть одна сторона прямоугольника x см, тогда другая сторона x + 5 см.

Площадь прямоугольника равна 84 см².

\[x(x + 5) = 84\] \[x^2 + 5x - 84 = 0\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2\] \[x_1 = \frac{-5 + 19}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-5 - 19}{2} = -12\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 7 см.

Тогда другая сторона равна 7 + 5 = 12 см.

Периметр прямоугольника равен 2(7 + 12) = 38 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 38 см.

5. Решить уравнение графическим способом.

x² = x + 5

Построим графики функций y = x² и y = x + 5.

Точки пересечения графиков: (-1.79, 3.21) и (2.79, 7.79)

Ответ: x₁ = -1.79, x₂ = 2.79 (приблизительно)