Вариант 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Разложите на множители: 1) 1 000m³ – n³; 2) 81a³– ab²; 3) -8x² – 16xy – 8y²; 4) 5mn + 15m – 10n – 30; 5) 256 – b⁴. Упростите выражение у(у – 5) (у+5) – (y + 2)(y²– 2y + 4). Разложите на множители: 1) a² – 36b² + a – 6b; 2) 25x²– 10xy + y² – 9; 3) ay³ + y³ – ay²– y²; 4) 4 – m² + 14mn – 49n². Решите уравнение: 1) 2x³ – 32x = 0; 2) 81x³ + 18x² + x = 0; 3) x³ + 6x² – x – 6 = 0. Докажите, что значение выражения 2⁹ + 10⁵ делится нацело на 18. Известно, что а–b=10, ab = 7. Найдите значение выражения (а+b)².

1. Разложите на множители:

• 1) 1000m³ – n³: \[1000m^3 - n^3 = (10m)^3 - n^3 = (10m - n)(100m^2 + 10mn + n^2)\]
• 2) 81a³– ab²: \[81a^3 - ab^2 = a(81a^2 - b^2) = a(9a - b)(9a + b)\]
• 3) -8x² – 16xy – 8y²: \[-8x^2 - 16xy - 8y^2 = -8(x^2 + 2xy + y^2) = -8(x + y)^2\]
• 4) 5mn + 15m – 10n – 30: \[5mn + 15m - 10n - 30 = 5m(n + 3) - 10(n + 3) = (5m - 10)(n + 3) = 5(m - 2)(n + 3)\]
• 5) 256 – b⁴: \[256 - b^4 = (16 - b^2)(16 + b^2) = (4 - b)(4 + b)(16 + b^2)\]

2. Упростите выражение:

\[y(y - 5)(y + 5) - (y + 2)(y^2 - 2y + 4)\] \[= y(y^2 - 25) - (y^3 + 8)\] \[= y^3 - 25y - y^3 - 8\] \[= -25y - 8\]

3. Разложите на множители:

• 1) a² – 36b² + a – 6b: \[a^2 - 36b^2 + a - 6b = (a - 6b)(a + 6b) + (a - 6b) = (a - 6b)(a + 6b + 1)\]
• 2) 25x²– 10xy + y² – 9: \[25x^2 - 10xy + y^2 - 9 = (5x - y)^2 - 9 = (5x - y - 3)(5x - y + 3)\]
• 3) ay³ + y³ – ay²– y²: \[ay^3 + y^3 - ay^2 - y^2 = y^3(a + 1) - y^2(a + 1) = y^2(y - 1)(a + 1)\]
• 4) 4 – m² + 14mn – 49n²: \[4 - m^2 + 14mn - 49n^2 = 4 - (m^2 - 14mn + 49n^2) = 4 - (m - 7n)^2 = (2 - (m - 7n))(2 + (m - 7n)) = (2 - m + 7n)(2 + m - 7n)\]

4. Решите уравнение:

• 1) 2x³ – 32x = 0: \[2x^3 - 32x = 0\] \[2x(x^2 - 16) = 0\] \[2x(x - 4)(x + 4) = 0\] \[x = 0, x = 4, x = -4\]
• 2) 81x³ + 18x² + x = 0: \[81x^3 + 18x^2 + x = 0\] \[x(81x^2 + 18x + 1) = 0\] \[x(9x + 1)^2 = 0\] \[x = 0, x = -\frac{1}{9}\]
• 3) x³ + 6x² – x – 6 = 0: \[x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0\] \[x^2(x + 6) - (x + 6) = 0\] \[(x^2 - 1)(x + 6) = 0\] \[(x - 1)(x + 1)(x + 6) = 0\] \[x = 1, x = -1, x = -6\]

5. Докажите, что значение выражения 2⁹ + 10⁵ делится нацело на 18.

\[2^9 + 10^5 = 512 + 100000 = 100512\] \[100512 \div 18 = 5584\] Т.к. 100512 делится на 18 без остатка, то выражение делится нацело на 18.

6. Известно, что а–b=10, ab = 7. Найдите значение выражения (а+b)².

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = (a - b)^2 + 4ab\] \[(a + b)^2 = (10)^2 + 4 \cdot 7 = 100 + 28 = 128\]