2 вариант 1. ПрямаяFM проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам MN и ML. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD= √31 см, АВ-6 см, ∠АСCB=60°. 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 26 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 4. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость а на расстоянии a 2 от точки В. а) Найдите расстояние от точкиС до плоскости а. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, M∈α.

Ответ: Решение ниже

Задача 1

Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей FML и MNK, нужно показать, что прямая, перпендикулярная одной плоскости, лежит в другой плоскости.

• Прямая FM перпендикулярна MN и ML (по условию).
• MN и ML лежат в плоскости MNK.
• Следовательно, FM перпендикулярна плоскости MNK.
• Так как FM лежит в плоскости FML, то плоскости FML и MNK перпендикулярны.

Ответ: Перпендикулярность плоскостей FML и MNK доказана.

Задача 2

Дано: ABD и ABC - равнобедренные треугольники с общим основанием AB, плоскости ABD и ABC перпендикулярны, AD = √31 см, AB = 6 см, ∠ACB = 60°.

Найти: CD

Решение:

• Так как треугольник ABC равнобедренный и ∠ACB = 60°, то треугольник ABC - равносторонний, следовательно, BC = AB = 6 см.
• Рассмотрим треугольник ADC. AD = √31 см, AC = 6 см.
• Так как плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то высота DT, опущенная из точки D на AB, перпендикулярна плоскости ABC, и, следовательно, треугольник DTC - прямоугольный.
• Найдем высоту DT в треугольнике ABD. Пусть AT = x, тогда BT = 6 - x. AD² - AT² = BD² - BT² => 31 - x² = BD² - (6 - x)²
• По теореме Пифагора для треугольника ABT: AD² = AT² + DT² = > DT² = AD² - AT² = 31 - x²
• Так как треугольник ABD равнобедренный, то AT = BT = 3 см, следовательно, DT = √(31 - 3²) = √22 см.
• Теперь найдем CD в прямоугольном треугольнике DTC: CD² = DT² + TC² = 22 + 6² = 22 + 36 = 58 => CD = √58 см.

Ответ: CD = √58 см.

Задача 3

Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна \(2\sqrt{6}\) см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2.

Найти: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Решение:

а) Пусть измерения параллелепипеда a, a и 2a. Тогда диагональ d = \( \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} \). По условию \( a\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \), откуда a = 2. Следовательно, измерения параллелепипеда 2 см, 2 см, 4 см.

б) Синус угла между диагональю и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали. sin α = \(\frac{2a}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

Ответ: a) 2 см, 2 см, 4 см; б) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Задача 4

Сторона квадрата ABCD равна a. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии a/2 от точки B.

а) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.

б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, M∈α.

Решение:

а) Расстояние от точки C до плоскости α:

Т.к. плоскость α проходит через сторону AD и находится на расстоянии a/2 от точки B, то расстояние от точки C до плоскости α также будет a/2.

б) Линейный угол двугранного угла BADM:

Линейный угол двугранного угла BADM - это угол между перпендикулярами, проведенными из точки на ребре AD к плоскостям BAD и MAD. Поскольку плоскость α проведена через AD, линейный угол можно построить, опустив перпендикуляр из точки B на AD (пусть это будет точка H). Затем опустим перпендикуляр из H на плоскость α (пусть это будет точка M). Тогда угол BHM будет линейным углом двугранного угла BADM.

Ответ: а) a/2; б) Угол BHM.

Ответ: Решение выше