4. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Диаметр шара равен а. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости. 4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

   Обозначим сторону квадрата как $$a$$. Тогда, по теореме Пифагора, $$a^2 + a^2 = 8^2$$.

   $$2a^2 = 64$$

   $$a^2 = 32$$

   $$a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

   Сторона квадрата $$a = 4\sqrt{2}$$ см - это высота цилиндра.

   Радиус основания цилиндра равен половине стороны квадрата: $$r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.

   Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 32\pi$$ см².

   Ответ: $$32\pi$$ см²

2. Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30° и площадь боковой поверхности конуса.

   Пусть $$R$$ - радиус основания конуса, $$l$$ - образующая, $$\alpha$$ - угол наклона образующей к плоскости основания, $$\beta$$ - угол между образующими сечения.

   Дано: $$R = 10$$ см, $$\alpha = 45^\circ$$, $$\beta = 30^\circ$$.

   Площадь сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2}l^2 \sin \beta$$.

   Т.к. $$\alpha = 45^\circ$$, то высота конуса $$h = R = 10$$ см.

   Образующая конуса: $$l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ см.

   Площадь сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} (10\sqrt{2})^2 \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \frac{1}{2} = 50$$ см².

   Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{2} \pi$$ см².

   Ответ: $$S_{сеч} = 50$$ см², $$S_{бок} = 100\sqrt{2} \pi$$ см²

3. Диаметр шара равен $$d$$. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости.

   Линия пересечения сферы и плоскости есть окружность. Радиус этой окружности нужно найти.

   Пусть $$d$$ - диаметр шара, тогда радиус шара $$R = \frac{d}{2}$$.

   Расстояние от центра шара до плоскости: $$h = R \cos 30^\circ = \frac{d}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d\sqrt{3}}{4}$$.

   Радиус сечения (окружности): $$r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{d\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{d^2}{4} - \frac{3d^2}{16}} = \sqrt{\frac{4d^2 - 3d^2}{16}} = \sqrt{\frac{d^2}{16}} = \frac{d}{4}$$.

   Длина линии пересечения (длина окружности): $$L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{d}{4} = \frac{\pi d}{2}$$.

   Ответ: $$\frac{\pi d}{2}$$

4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

   Пусть $$d = 20$$ см - диагональ сечения, $$h$$ - высота сечения (и цилиндра), $$l = 3$$ см - расстояние от оси до сечения, $$\alpha = 120^\circ$$ - угол дуги, отсекаемой плоскостью.

   Найдем радиус основания цилиндра $$R$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от оси и половиной хорды (половиной стороны сечения).

   $$\sin (\frac{\alpha}{2}) = \sin (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

   $$R^2 = l^2 + x^2$$, где $$x$$ - половина хорды. Также, $$\frac{x}{R} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Отсюда $$x = \frac{R\sqrt{3}}{2}$$.

   $$R^2 = l^2 + x^2 = 3^2 + \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 9 + \frac{3R^2}{4}$$.

   $$\frac{1}{4}R^2 = 9$$, отсюда $$R^2 = 36$$ и $$R = 6$$ см.

   Теперь найдем высоту цилиндра. $$h^2 + (2l)^2 = d^2$$. $$h^2 + (2 \cdot 3)^2 = 20^2$$. $$h^2 = 400 - 36 = 364$$. $$h = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$ см.

   Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S = 2\pi R h = 2\pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{91} = 24\pi \sqrt{91}$$ см².

   Ответ: $$24\pi \sqrt{91}$$ см²