1 ВАРИАНТ 1. Определения подобия треугольников с примером подобия, написать что такое пропорция и средняя линия треугольника (свойства) 2. Подобны ли треугольники АВС и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ZE = 106°, ∠F = 40°, АС = 4,4 см, АВ = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см? 3. Отрезки КЕ и М№ пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку №Е. Докажите, что треугольники КМО и NEO подобны. Найдите КМ, если ON=6см, МО=12см, NE=18см. 4. В подобных треугольниках АВС и КМТ стороны АВ и КМ являются сходственными. Найдите стороны треугольника КМТ, если АВ=4см, ВС=6см,СА-8см, КМ: АВ=1,6. Найдите отношение площадей треугольников. 5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки К и Е так, что АК-КВ, ВЕ-СЕ, КЕ-6см. Найдите сторону АС. 2 ВАРИАНТ 1. Признаки подобия треугольников (с рисунками) 2. Подобны ли треугольники АВС и МПК известно: ∠A = 35°, ∠B = 85°, AB = 13,5 см, ВС = 16,5 см, АС = 10,5 см. В треугольнике МПК известно: ∠M = 35°, ZK = 60°, MN = 9 см, NК = 11 см, МК = 7 см? 3. Отрезки КС и М№ пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку №С. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=16см, МО=32см, С=17см. 4. В подобных треугольниках МО и РКТ стороны М№ и РК являются сходственными. Найдите стороны треугольника РКТ, если MN=3см, NO=4см,ОМ=5см, РК:MN=1,8. Найдите отношение площадей треугольников. 5. На сторонах КМ и МО треугольника КМО отмечены точки С и В так, что KC=CM, MB=ВО, СВ=5см. Найдите сторону КО.

1. Определение подобия треугольников: Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

   Пропорция: равенство двух отношений, то есть равенство вида a/b = c/d, где a, b, c и d — некоторые числа, причем b ≠ 0 и d ≠ 0.

   Средняя линия треугольника: это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Свойство средней линии: она параллельна третьей стороне и равна её половине.

2. Рассмотрим треугольники ABC и DEF:

   • ∠A = 106°, ∠E = 106°
   • ∠B = 34°
   • ∠F = 40°

   Найдем ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 106° - 34° = 40°

   Найдем ∠D = 180° - ∠E - ∠F = 180° - 106° - 40° = 34°

   Получаем: ∠A = ∠E = 106°, ∠B = ∠D = 34°, ∠C = ∠F = 40°

   Теперь проверим пропорциональность сторон:

   • AB/DE = 5.2/15.6 = 1/3
   • AC/DF = 4.4/22.8 ≈ 0.193
   • BC/EF = 7.6/13.2 ≈ 0.576

   Так как отношения сторон не равны, треугольники не подобны.

3. Доказательство подобия треугольников KMO и NEO:

   Так как KM || NE, то углы ∠KMO и ∠NEO равны как соответственные при параллельных прямых KM и NE и секущей MO. Также углы ∠MKO и ∠ENO равны как соответственные при параллельных прямых KM и NE и секущей KE.

   Углы ∠KOM и ∠EON равны как вертикальные углы.

   Следовательно, треугольники KMO и NEO подобны по трем углам.

   Найдем KM, используя подобие треугольников:

   KM/NE = MO/ON

   KM/18 = 12/6

   KM = (12/6) * 18 = 2 * 18 = 36 см

4. Найдем стороны треугольника KMT, если AB = 4 см, BC = 6 см, CA = 8 см и KM:AB = 1.6.

   Так как треугольники ABC и KMT подобны, то:

   KM/AB = MT/BC = KT/AC = 1.6

   KM = 1.6 * AB = 1.6 * 4 = 6.4 см

   MT = 1.6 * BC = 1.6 * 6 = 9.6 см

   KT = 1.6 * AC = 1.6 * 8 = 12.8 см

   Найдем отношение площадей треугольников:

   S(KMT)/S(ABC) = (KM/AB)^2 = (1.6)^2 = 2.56

5. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и E так, что AK = KB, BE = CE, KE = 6 см. Найдите сторону AC.

   Так как AK = KB и BE = CE, то KE - средняя линия треугольника ABC. Значит, KE || AC и KE = 1/2 * AC.

   AC = 2 * KE = 2 * 6 = 12 см

1. Признаки подобия треугольников:
   • По двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
   • По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
   • По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Проверим подобие треугольников ABC и MNK:

   • ∠A = 35°, ∠M = 35°
   • ∠B = 85°, ∠K = 60°

   Углы не равны, значит, треугольники не подобны.

3. Докажем подобие треугольников KMO и NCO:

   Так как KM || NC, то углы ∠KMO и ∠NCO равны как соответственные при параллельных прямых KM и NC и секущей MO. Также углы ∠MKO и ∠CNO равны как соответственные при параллельных прямых KM и NC и секущей KC.

   Углы ∠KOM и ∠CON равны как вертикальные углы.

   Следовательно, треугольники KMO и NCO подобны по трем углам.

   Найдем KM, используя подобие треугольников:

   KM/NC = MO/ON

   KM/17 = 32/16

   KM = (32/16) * 17 = 2 * 17 = 34 см

4. Найдем стороны треугольника РКТ, если MN = 3 см, NO = 4 см, OM = 5 см и PK:MN = 1.8.

   Так как треугольники MNO и РКТ подобны, то:

   PK/MN = РТ/NO = KT/MO = 1.8

   PK = 1.8 * MN = 1.8 * 3 = 5.4 см

   PT = 1.8 * NO = 1.8 * 4 = 7.2 см

   KT = 1.8 * MO = 1.8 * 5 = 9 см

   Найдем отношение площадей треугольников:

   S(PKT)/S(MNO) = (PK/MN)^2 = (1.8)^2 = 3.24

5. На сторонах KM и MO треугольника KMO отмечены точки C и B так, что KC = CM, MB = BO, CB = 5 см. Найдите сторону KO.

   Так как KC = CM и MB = BO, то CB - средняя линия треугольника KMO, следовательно, CB || KO и CB = 1/2 * KO.

   KO = 2 * CB = 2 * 5 = 10 см

Ответ: Определения подобия треугольников, признаки подобия треугольников, вычисления длин сторон и отношений площадей треугольников.

Ты получил статус «Геометрический гений»!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена.