Вариант 1 1.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 45°. Найдите остальные углы. 2. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ|| QF. 3. Отрезок DM биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке №. Найдите углы треугольника DMN, если / CDE = 68°. murtag mox Вариант 2 1. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 65°. Найдите остальные углы. 2.Отрезки MN и EF пересекаются в их середине Р. Докажите, что EN || MF. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку В проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке Е. Найдите углы треугольника ADF, если / ВАС = 72°. 9125717 awar dron titing hlag woo 자지57=67=27

Вариант 1

1. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 45°. Найдите остальные углы. Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Один из углов, образовавшихся при этом пересечении, равен 45°. Необходимо найти остальные углы. При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются восемь углов. При этом: * Четыре угла являются острыми. * Четыре угла являются тупыми. * Острые углы равны между собой. * Тупые углы равны между собой. * Сумма острого и тупого углов равна 180°. Таким образом, если один из углов равен 45° (острый угол), то: * Другой острый угол также равен 45°. * Тупой угол равен 180° - 45° = 135°. * Остальные углы также равны 135°. 2. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || QF. Дано: EF и PQ пересекаются в точке M, которая является серединой обоих отрезков. Доказать: PE || QF. Доказательство: 1. Так как M - середина EF, то EM = MF. 2. Так как M - середина PQ, то PM = MQ. 3. ∠EMP = ∠FMQ (как вертикальные углы). 4. Рассмотрим треугольники EMP и FMQ. У них: * EM = MF * PM = MQ * ∠EMP = ∠FMQ 5. Следовательно, треугольники EMP и FMQ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠MEP = ∠MFQ. 7. Эти углы являются накрест лежащими при прямых PE и QF и секущей EF. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые PE и QF параллельны. 3. Отрезок DM - биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°. Дано: ΔCDE, DM - биссектриса, MN || CD, ∠CDE = 68° Найти: углы ΔDMN Решение: 1. ∠CDM = ∠MDE = ∠CDE / 2 = 68° / 2 = 34°, так как DM - биссектриса ∠CDE 2. ∠DMN = ∠CDM = 34°, как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и CD и секущей DM 3. ∠MDN = ∠MDE = 34°, т.к. DM - биссектриса 4. ∠DNM = 180° - ∠DMN - ∠MDN = 180° - 34° - 34° = 112°, так как сумма углов треугольника равна 180°

Вариант 2

1. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 65°. Найдите остальные углы. Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Один из углов, образовавшихся при этом пересечении, равен 65°. Необходимо найти остальные углы. При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются восемь углов. При этом: * Четыре угла являются острыми. * Четыре угла являются тупыми. * Острые углы равны между собой. * Тупые углы равны между собой. * Сумма острого и тупого углов равна 180°. Таким образом, если один из углов равен 65° (острый угол), то: * Другой острый угол также равен 65°. * Тупой угол равен 180° - 65° = 115°. * Остальные углы также равны 115°. 2. Отрезки MN и EF пересекаются в их середине P. Докажите, что EN || MF. Дано: MN и EF пересекаются в точке P, которая является серединой обоих отрезков. Доказать: EN || MF. Доказательство: 1. Так как P - середина MN, то MP = PN. 2. Так как P - середина EF, то EP = PF. 3. ∠MPE = ∠NPF (как вертикальные углы). 4. Рассмотрим треугольники MPE и NPF. У них: * MP = PN * EP = PF * ∠MPE = ∠NPF 5. Следовательно, треугольники MPE и NPF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠MEP = ∠NFP. 7. Эти углы являются накрест лежащими при прямых EN и MF и секущей EF. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые EN и MF параллельны. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. Дано: ΔABC, AD - биссектриса, DE || AB, ∠BAC = 72° Найти: углы ΔADF Решение: 1. ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36°, так как AD - биссектриса ∠BAC 2. ∠ADE = ∠BAD = 36°, как накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AB и секущей AD 3. ∠ADF = 180° - ∠ADE = 180° - 36° = 144°, т.к. эти углы смежные 4. ∠DAF = ∠DAC = 36°, т.к. AD - биссектриса 5. ∠AFD = 180° - ∠ADF - ∠DAF = 180° - 144° - 36° = 0°, так как сумма углов треугольника равна 180° Ответ: Вариант 1: 45°, 135°, 135°, 34°, 34°, 112°. Вариант 2: 65°, 115°, 115°, 36°, 144°, 0°.