Вариант 1 Контрольная работа по теме «Подобне треугольников». 1). Известно, что треугольники АВС и А.В.С) подобны, причём стороне АВ соответствует сторона- А.В. а стороне ВС-сторона В.С.Найдите неизвестные стороны этих треугольников. (См.рис 1) 2). Стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 105 см. 3). У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см. Площадь первого треугольника равна 27 см³. Найдите площадь второго треугольника. 4). Отрезки КС и М№ пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку №С. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=16см. МО=32см. С=17см. 5). Докажите, что треугольник АВС, подобен треугольнику А,В,С (См. рис 2) 6). Стороны параллелограмма равны 15 см и 30 см, а расстояние между меньшими сторонами-20 см. Найдите расстояние между большими сторонами параллелограмма. 7). Докажите, что треугольники АВС и треугольник А,В,С, подобны. (См.рис 3).

1) Рассмотрим рисунок 1. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, значит, их стороны пропорциональны. Составим отношение сходственных сторон:

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$

Подставим известные значения и найдём неизвестные стороны:

$$ \frac{12}{6} = \frac{12}{8} = \frac{AC}{A_1C_1} $$

Из пропорции $$ \frac{12}{6} =2 $$ следует, что $$ \frac{BC}{B_1C_1} = 2$$, тогда сторона B₁C₁ равна $$ \frac{12}{2} = 6$$.

Из пропорции $$ \frac{12}{6} = \frac{AC}{A_1C_1} $$ следует, что $$ A_1C_1 = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$.

Ответ: B₁C₁ = 6, A₁C₁ = 4.

2) Пусть стороны подобного треугольника будут 5x, 3x и 7x. Периметр подобного треугольника равен 105 см. Составим уравнение:

$$ 5x + 3x + 7x = 105 $$ $$ 15x = 105 $$ $$ x = \frac{105}{15} = 7 $$

Найдем стороны подобного треугольника:

$$ 5x = 5 \cdot 7 = 35 \text{ см} $$ $$ 3x = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см} $$ $$ 7x = 7 \cdot 7 = 49 \text{ см} $$

Ответ: 35 см, 21 см, 49 см.

3) Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно 7/35 = 1/5. Следовательно, коэффициент подобия k = 1/5.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$ \frac{S_1}{S_2} = k^2 $$ $$ \frac{27}{S_2} = (\frac{1}{5})^2 $$ $$ \frac{27}{S_2} = \frac{1}{25} $$ $$ S_2 = 27 \cdot 25 = 675 \text{ см}^2 $$

Ответ: 675 см².

4) Дано: КС и MN пересекаются в точке О, КМ || NC, ON = 16 см, МО = 32 см, ОС = 17 см.

Доказать: ΔКМО ~ ΔNCO.

Решение:

1. Т.к. КМ || NC, то углы MKO и NCO являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых КМ и NC и секущей КС, значит, ∠MKO = ∠NCO.
2. Т.к. КМ || NC, то углы KMO и CNO являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых КМ и NC и секущей MN, значит, ∠KMO = ∠CNO.
3. Следовательно, треугольники КМО и NCO подобны по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Поскольку треугольники КМО и NCO подобны, их стороны пропорциональны.

Найдем КМ:

$$ \frac{KM}{NC} = \frac{MO}{ON} $$

Выразим NC = OC + ON, NC = 17 + 16 = 33 см

$$ \frac{KM}{33} = \frac{32}{16} $$ $$ KM = \frac{32 \cdot 33}{16} = 2 \cdot 33 = 66 \text{ см} $$

Ответ: КМ = 66 см.

5) На рисунке 2 не хватает данных, чтобы доказать, что треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁.

6) Пусть ABCD – данный параллелограмм, где AB = CD = 30 см, BC = AD = 15 см. Высота, проведенная к стороне AD, равна 20 см. Обозначим высоту, проведенную к стороне AB, за h.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, S = AD * высота₁ = AB * высота₂

$$ 15 \cdot 20 = 30 \cdot h $$ $$ h = \frac{15 \cdot 20}{30} = \frac{300}{30} = 10 \text{ см} $$

Ответ: 10 см.

7) На рисунке 3 недостаточно данных, чтобы доказать, что треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁.