Вариант 2 К-6 (§ 9) •1. Найдите сороковой член арифметической прогрес- сии (а), если а₁ = 38 и d = -3. •2. Найдите сумму первых двадцати членов арифмети- ческой прогрессии (а), если а₁ = 1 и а₂ = 6. •3. Является ли число 39 членом арифметической про- грессии (с), в которой с₁ = -6 и со = 6? 4. Найдите сумму первых тридцати членов последова- тельности, заданной формулой b = 3n - 1. n 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Задача 1

Найти сороковой член арифметической прогрессии \( (a_n) \), если \( a_1 = 38 \) и \( d = -3 \).

Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] Подставляем известные значения: \[ a_{40} = 38 + (40 - 1)(-3) \] \[ a_{40} = 38 + 39 \cdot (-3) \] \[ a_{40} = 38 - 117 \] \[ a_{40} = -79 \]

Ответ: -79

Задача 2

Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии \( (a_n) \), если \( a_1 = 1 \) и \( a_2 = 6 \).

Сначала найдем разность арифметической прогрессии: \[ d = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5 \] Теперь используем формулу для суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \] Подставляем известные значения: \[ S_{20} = \frac{2 \cdot 1 + (20 - 1) \cdot 5}{2} \cdot 20 \] \[ S_{20} = \frac{2 + 19 \cdot 5}{2} \cdot 20 \] \[ S_{20} = \frac{2 + 95}{2} \cdot 20 \] \[ S_{20} = \frac{97}{2} \cdot 20 \] \[ S_{20} = 97 \cdot 10 \] \[ S_{20} = 970 \]

Ответ: 970

Задача 3

Является ли число 39 членом арифметической прогрессии \( (c_n) \), в которой \( c_1 = -6 \) и \( c_9 = 6 \)?

Сначала найдем разность арифметической прогрессии. Используем формулу: \[ c_n = c_1 + (n-1)d \] Тогда: \[ c_9 = c_1 + 8d \] \[ 6 = -6 + 8d \] \[ 12 = 8d \] \[ d = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \] Теперь проверим, является ли 39 членом этой прогрессии. Пусть \( c_n = 39 \). Тогда: \[ 39 = -6 + (n-1) \cdot 1.5 \] \[ 45 = (n-1) \cdot 1.5 \] \[ n-1 = \frac{45}{1.5} = 30 \] \[ n = 31 \] Так как n является целым числом, то 39 является членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является 31-м членом прогрессии.

Задача 4

Найти сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой \( b_n = 3n - 1 \).

Сначала найдем первый и тридцатый члены последовательности: \[ b_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \] \[ b_{30} = 3 \cdot 30 - 1 = 89 \] Теперь найдем сумму первых тридцати членов, используя формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n \] \[ S_{30} = \frac{2 + 89}{2} \cdot 30 \] \[ S_{30} = \frac{91}{2} \cdot 30 \] \[ S_{30} = 91 \cdot 15 \] \[ S_{30} = 1365 \]

Ответ: 1365

Задача 5

Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Первое число, кратное 3: 3. Последнее число, кратное 3 и не превышающее 80: 78. Найдем количество членов этой последовательности: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] \[ 78 = 3 + (n-1) \cdot 3 \] \[ 75 = (n-1) \cdot 3 \] \[ n-1 = 25 \] \[ n = 26 \] Теперь найдем сумму этих чисел: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] \[ S_{26} = \frac{3 + 78}{2} \cdot 26 \] \[ S_{26} = \frac{81}{2} \cdot 26 \] \[ S_{26} = 81 \cdot 13 \] \[ S_{26} = 1053 \]

Ответ: 1053