Вариант І 1.В треугольнике АВС <C = 60°, <B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. Найдите АВ. 2. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN. 3. В треугольнике АВС <B = 90°, a биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.

Ответ: 1) AB = 2√3 см; 2) 9 см; 3) ∠AOC = 135°

1. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁ равна 2 см. Найдите AB.

• Рассмотрим треугольник ABB₁: ∠BB₁A = 90°, ∠A = 30° (так как 180° - 90° - 60° = 30°).
• BB₁ является катетом, лежащим против угла в 30°, значит, AB = 2BB₁ = 2 * 2 = 4 см.

Ответ: AB = 4 см

2. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла M пересекает высоту NK в точке O, причем OK = 9 см. Найдите расстояние от точки O до прямой MN.

• Расстояние от точки O до прямой MN равно длине отрезка OK, так как биссектриса делит угол пополам, и высота NK перпендикулярна стороне MP.
• Следовательно, расстояние от O до MN равно 9 см.

Ответ: 9 см

3. В треугольнике ABC ∠B = 90°, а биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Найдите угол AOC.

• Сумма углов треугольника ABC равна 180°, ∠A + ∠C = 180° - 90° = 90°.
• Так как AO и CO - биссектрисы углов A и C, то ∠OAC + ∠OCA = (∠A + ∠C) / 2 = 90° / 2 = 45°.
• В треугольнике AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - 45° = 135°.

Ответ: ∠AOC = 135°

Ответ: 1) AB = 2√3 см; 2) 9 см; 3) ∠AOC = 135°