Вариант ІI a 1 b 2 B 61 3 a 2 A 4 C 1. Дано: a || b, с - секущая, 21-22 = 102°. Найти: все образовавшиеся углы. T I 2. Дано: 21 = 22, 23 140°. Найти: 24. 3. Отрезок АК — биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке М. Найдите углы треугольника АКИ, если ∠CAE = 78°. №4. Прямая т пересекает параллельные прямые с и б, при этом образовалось односторонние углы, градусные меры которых относятся как 1:8. Найти эти углы.

Ответ: Задача №1: ∠1=129°, ∠2=27°, ∠3=129°, ∠4=51°, ∠5=27°, ∠6=129°, ∠7=27°, ∠8=51°. Задача №2: ∠4=40°. Задача №3: ∠AKN = 39°, ∠ANK = 63°, ∠NAK = 78°. Задача №4: 20° и 160°.

Задача №1

Дано: a || b, с – секущая, ∠1 - ∠2 = 102°.

Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

• Пусть ∠2 = x, тогда ∠1 = x + 102°.
• ∠1 и ∠2 – односторонние углы, поэтому их сумма равна 180°:
• x + 102° + x = 180°
• 2x = 180° - 102°
• 2x = 78°
• x = 39°
• Значит, ∠2 = 39°, ∠1 = 39° + 102° = 141°.
• Остальные углы находим, используя свойства вертикальных и соответственных углов:

∠3 = ∠1 = 141° (как вертикальные), ∠4 = ∠2 = 39° (как вертикальные), ∠5 = ∠2 = 39° (как соответственные), ∠6 = ∠1 = 141° (как соответственные), ∠7 = ∠3 = 141° (как соответственные), ∠8 = ∠4 = 39° (как соответственные).

Ответ: ∠1=141°, ∠2=39°, ∠3=141°, ∠4=39°, ∠5=39°, ∠6=141°, ∠7=141°, ∠8=39°.

Задача №2

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°.

Найти: ∠4.

Решение:

• ∠1 = ∠2, следовательно, треугольник равнобедренный с основанием AC.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
• ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 140° = 40°
• Так как ∠1 = ∠2, то ∠1 = ∠2 = 40° / 2 = 20°
• ∠4 – внешний угол треугольника при вершине C, поэтому он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
• ∠4 = ∠1 + ∠3 = 20° + 140° = 160°

Ответ: ∠4=160°.

Задача №3

Отрезок AK – биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найти углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Решение:

• ∠CAE = 78°, AK – биссектриса, следовательно, ∠NAK = ∠KAC = 78° / 2 = 39°.
• KN || CA, следовательно, ∠AKN = ∠KAC = 39° (как соответственные углы).
• В треугольнике AKN известны два угла, найдем третий:
• ∠ANK = 180° - ∠NAK - ∠AKN = 180° - 39° - 39° = 102°

Ответ: ∠AKN = 39°, ∠ANK = 102°, ∠NAK = 39°.

Задача №4

Прямая m пересекает параллельные прямые c и b, при этом образовались односторонние углы, градусные меры которых относятся как 1:8. Найти эти углы.

Решение:

• Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен 8x.
• Сумма односторонних углов равна 180°:
• x + 8x = 180°
• 9x = 180°
• x = 20°
• Значит, один угол равен 20°, другой угол равен 8 * 20° = 160°.

Ответ: 20° и 160°.

Ответ: Задача №1: ∠1=129°, ∠2=27°, ∠3=129°, ∠4=51°, ∠5=27°, ∠6=129°, ∠7=27°, ∠8=51°. Задача №2: ∠4=40°. Задача №3: ∠AKN = 39°, ∠ANK = 63°, ∠NAK = 78°. Задача №4: 20° и 160°.