Вариант II 1. Вычислить: 1) logs (1/27); 2) (1/3)^(2log_3 7); 3) log2 56 + 2 log2 12 - log2 63. 2. В одной системе координат схематически построить графики функций y = log4x и y = 4*. 3. Сравнить числа log0.9 1 1/2 и log0.9 1 1/3. 4. Решить уравнение log4 (2x + 3) = 3. 5. Решить неравенство logs (x - 3) < 2. 6. Решить уравнение log3 (x-8) + log3x = 2. 7. Решить уравнение log^3x + log9x = 10. 8. Решить неравенство log2 x - 3log2 x ≤ 4.

Вариант II

1. Вычислить:

1. \( \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \)
2. \( \left( \frac{1}{3} \right)^{2\log_3 7} = (3^{-1})^{2\log_3 7} = 3^{-2\log_3 7} = 3^{\log_3 7^{-2}} = 7^{-2} = \frac{1}{49} \)
3. \( \log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 12^2 - \log_2 63 = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_2 \frac{(8 \cdot 7) \cdot (16 \cdot 9)}{7 \cdot 9} = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 (2^3 \cdot 2^4) = \log_2 2^7 = 7 \)

2. Построить графики функций

Графики функций \( y = \log_4 x \) и \( y = 4^x \).

3. Сравнить числа

Сравниваем \( \log_{0.9} 1\frac{1}{2} \) и \( \log_{0.9} 1\frac{1}{3} \). Так как основание логарифма \( 0.9 < 1 \), функция \( y = \log_{0.9} x \) убывающая. Сравним аргументы: \( 1\frac{1}{2} = 1.5 \) и \( 1\frac{1}{3} \approx 1.33 \). Так как \( 1.5 > 1\frac{1}{3} \), то \( \log_{0.9} 1\frac{1}{2} < \log_{0.9} 1\frac{1}{3} \).

4. Решить уравнение

\( \log_4 (2x+3) = 3 \)

\( 2x+3 = 4^3 \)

\( 2x+3 = 64 \)

\( 2x = 61 \)

\( x = 30.5 \)

Проверка: \( 2 \cdot 30.5 + 3 = 61 + 3 = 64 > 0 \). Корень подходит.

Ответ: x = 30.5

5. Решить неравенство

\( \log_5 (x-3) < 2 \)

\( x-3 < 5^2 \)

\( x-3 < 25 \)

\( x < 28 \)

Также учтем область допустимых значений: \( x-3 > 0 \) ⇒ \( x > 3 \). Объединяя \( x < 28 \) и \( x > 3 \), получаем \( 3 < x < 28 \).

Ответ: \( 3 < x < 28 \)

6. Решить уравнение

\( \log_3 (x-8) + \log_3 x = 2 \)

\( \log_3 ((x-8)x) = 2 \)

\( x(x-8) = 3^2 \)

\( x^2 - 8x = 9 \)

\( x^2 - 8x - 9 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).

\( x_1 = \frac{8+10}{2} = 9 \)

\( x_2 = \frac{8-10}{2} = -1 \)

Проверка: \( x=9 \): \( \log_3 (9-8) + \log_3 9 = \log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2 \). Подходит.

\( x=-1 \): \( x-8 = -9 < 0 \) и \( x = -1 < 0 \). Не подходит.

Ответ: x = 9

7. Решить уравнение

\( \log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10 \)

Переведём логарифмы к основанию 3:

\( \log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 x}{1/2} = 2 \log_3 x \)

\( \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} \)

Подставляем в уравнение:

\( 2 \log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} = 10 \)

Умножим на 2:

\( 4 \log_3 x + \log_3 x = 20 \)

\( 5 \log_3 x = 20 \)

\( \log_3 x = 4 \)

\( x = 3^4 \)

\( x = 81 \)

Ответ: x = 81

8. Решить неравенство

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x \le 4 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x - 4 \le 0 \)

Сделаем замену: \( y = \log_2 x \). Тогда получим квадратное неравенство:

\( y^2 - 3y - 4 \le 0 \)

Найдем корни уравнения \( y^2 - 3y - 4 = 0 \):

\( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

\( y_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

Парабола \( y^2 - 3y - 4 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le y \le 4 \).

\( -1 \le \log_2 x \le 4 \)

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2 x \) возрастающая. Избавимся от логарифма:

\( 2^{-1} \le x \le 2^4 \)

\( \frac{1}{2} \le x \le 16 \)

Ответ: \( [0.5; 16] \)