Вариант II 1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. a) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности призмы

1. Найдём второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( a = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \) см.
2. Наименьшая боковая грань — квадрат, значит, высота призмы равна наименьшему катету основания: \( h = 5 \) см.
3. Периметр основания призмы: \( P = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.
4. Площадь боковой поверхности призмы: \( S_{бок} = P \cdot h = 30 \cdot 5 = 150 \) см².

Ответ: 150 см².

2. Правильная четырехугольная пирамида

а) Найдём боковое ребро пирамиды

1. Высота правильной четырехугольной пирамиды, проведённая из вершины к центру основания, образует с боковым ребром и проекцией этого ребра на основание (радиусом описанной окружности) прямоугольный треугольник.
2. Радиус описанной окружности квадрата (основания пирамиды): \( R = \frac{d}{2} \), где \( d \) — диагональ квадрата.
3. Диагональ квадрата: \( d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона квадрата.
4. В данной задаче не указана сторона основания, но указан угол наклона бокового ребра к плоскости основания (60°).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (l). В этом треугольнике \( \tan 60° = \frac{H}{R} \).
6. Нам дана высота \( H = \sqrt{6} \) см.
7. \( R = \frac{H}{\tan 60°} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \) см.
8. Теперь найдём боковое ребро \( l \) по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 2\sqrt{2} \) см.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

1. Сначала найдём сторону основания квадрата. Диагональ квадрата \( d = 2R = 2\sqrt{2} \) см.
2. Сторона квадрата \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \) см.
3. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырёх боковых граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник.
4. Найдём апофему (высоту боковой грани) \( h_{a} \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (H), апофемой (h_a) и радиусом вписанной окружности (r), \( r = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.
5. \( h_{a} = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7} \) см.
6. Площадь одной боковой грани: \( S_{гран} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = \sqrt{7} \) см².
7. Площадь боковой поверхности пирамиды: \( S_{бок} = 4 \cdot S_{гран} = 4\sqrt{7} \) см².

Ответ: \( 4\sqrt{7} \) см².

3. Площадь полной поверхности параллелепипеда

1. Основание — ромб. Меньшая диагональ \( d_1 = 12 \) см.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей: \( \frac{d_1}{2} = 6 \) см и \( \frac{d_2}{2} \).
3. Сторону ромба \( a \) можно найти по теореме Пифагора: \( a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{d_2}{2})^2} \).
4. Большая диагональ параллелепипеда \( D = 16\sqrt{2} \) см.
5. Угол между большой диагональю параллелепипеда и боковым ребром \( b \) равен 45°.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю основания \( d_2 \), боковым ребром \( b \) и большей диагональю параллелепипеда \( D \). В этом треугольнике \( \cos 45° = \frac{d_2}{D} \) и \( \sin 45° = \frac{b}{D} \).
7. Найдём \( d_2 \): \( d_2 = D \cdot \cos 45° = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \) см.
8. Найдём \( b \): \( b = D \cdot \sin 45° = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \) см.
9. Теперь найдём сторону ромба \( a \): \( a = \sqrt{6^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{36 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.
10. Площадь основания (ромба): \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \) см².
11. Площадь боковой поверхности параллелепипеда: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot b = (4a) \cdot b = (4 \cdot 10) \cdot 16 = 40 \cdot 16 = 640 \) см².
12. Площадь полной поверхности параллелепипеда: \( S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 640 = 192 + 640 = 832 \) см².

Ответ: 832 см².