Вариант II. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Обозначим катеты через \(a\) и \(b\). Дано: \(r=2\) см, \(a+b=17\) см.

1. Используем формулу \(r=\frac{a+b-c}{2}\), где \(c\) — гипотенуза. Тогда \(c=a+b-2r=17-4=13\) см.
2. По теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2=169\).
3. Из равенства \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) получаем \(289=169+2ab\), поэтому \(ab=60\).
4. Катеты являются корнями уравнения \(x^2-17x+60=0\): \(x_1=5\), \(x_2=12\). Значит, катеты равны 5 см и 12 см.
5. Периметр: \(P=a+b+c=17+13=30\) см.
6. Площадь: \(S=\frac{ab}{2}=\frac{5\cdot12}{2}=30\) см².

Ответ: периметр — 30 см, площадь — 30 см².