Вариант-2 4. Докажите неравенство: 1) a) x(x+4)+6>4x; 6) (a-2) (a+2)+11>0; 2) a) (a +5)(a-2)> (a-5) (a+8); 6) x(x+10)<(x+5)²; (6x+1) 3) a) —>2x; 6 2) (a+6)>120; B) b(b-4)->-4; 6) (4+3) 2a-2 6

1) a) x(x+4)+6>4x;

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[x^2 + 4x + 6 > 4x\]

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону.

\[x^2 + 4x - 4x + 6 > 0\]

Шаг 3: Упрощаем.

\[x^2 + 6 > 0\]

Так как \( x^2 \) всегда неотрицателен, то \( x^2 + 6 \) всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство верно для всех действительных x.

1) б) (a-2)(a+2)+11>0;

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[(a^2 - 4) + 11 > 0\]

Шаг 2: Упрощаем.

\[a^2 + 7 > 0\]

Так как \( a^2 \) всегда неотрицателен, то \( a^2 + 7 \) всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство верно для всех действительных a.

2) a) (a+5)(a-2)>(a-5)(a+8);

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[a^2 + 5a - 2a - 10 > a^2 - 5a + 8a - 40\]

Шаг 2: Упрощаем.

\[a^2 + 3a - 10 > a^2 + 3a - 40\]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону.

\[a^2 - a^2 + 3a - 3a - 10 + 40 > 0\]

Шаг 4: Упрощаем.

\[30 > 0\]

Ответ: Неравенство верно для всех действительных a.

2) б) x(x+10)<(x+5)²;

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[x^2 + 10x < x^2 + 10x + 25\]

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону.

\[x^2 - x^2 + 10x - 10x - 25 < 0\]

Шаг 3: Упрощаем.

\[-25 < 0\]

Ответ: Неравенство верно для всех действительных x.

3) a) \(\frac{(6x+1)^2}{6} > 2x\);

Шаг 1: Умножаем обе части неравенства на 6.

\[(6x+1)^2 > 12x\]

Шаг 2: Раскрываем скобки.

\[36x^2 + 12x + 1 > 12x\]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону.

\[36x^2 + 12x - 12x + 1 > 0\]

Шаг 4: Упрощаем.

\[36x^2 + 1 > 0\]

Так как \( 36x^2 \) всегда неотрицателен, то \( 36x^2 + 1 \) всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство верно для всех действительных x.

4) a) (a+6)²>12a;

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[a^2 + 12a + 36 > 12a\]

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону.

\[a^2 + 12a - 12a + 36 > 0\]

Шаг 3: Упрощаем.

\[a^2 + 36 > 0\]

Так как \( a^2 \) всегда неотрицателен, то \( a^2 + 36 \) всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство верно для всех действительных a.

4) б) b(b-4)>-4;

Шаг 1: Раскрываем скобки.

\[b^2 - 4b > -4\]

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону.

\[b^2 - 4b + 4 > 0\]

Шаг 3: Замечаем, что это полный квадрат.

\[(b-2)^2 > 0\]

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при \( b
eq 2 \).

Ответ: Неравенство верно для всех действительных b, кроме b=2.

5) б) \(\frac{(a+3)^2}{6} > a - 2\);

Шаг 1: Умножаем обе части неравенства на 6.

\[(a+3)^2 > 6(a-2)\]

Шаг 2: Раскрываем скобки.

\[a^2 + 6a + 9 > 6a - 12\]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону.

\[a^2 + 6a - 6a + 9 + 12 > 0\]

Шаг 4: Упрощаем.

\[a^2 + 21 > 0\]

Так как \( a^2 \) всегда неотрицателен, то \( a^2 + 21 \) всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство верно для всех действительных a.