Вариант 2 Часть А 1°. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) Д ММК - прямоугольный. 2) Д ММК - равнобедренный. 3) 21 - внешний угол треугольника MNK. 4) 22 - внешний угол треугольника ММК. Часть В 2°. BH высота равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе. Найди- те углы треугольника АВН. Часть С 3°. Докажите, что если на рисунке АС и BD - пер- пендикуляры к прямой CD и AD - ВС, то ДACD = ABDC. 4. Найдите углы R и S треугольника PRS, если ∠P = 84°, а ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S. 5*. Прямая ОМ, параллельная боковой стороне АС равнобедренного треугольника АВС, пересекает сто- роны АВ и ВС в точках О и М. Докажите, что ДВОМ - равнобедренный.

Ответ: 3

Часть A

1. ΔMNK - прямоугольный. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠N = 81°, ∠K = 18°, значит ∠M = 180° - 81° - 18° = 81°. Так как все углы не равны 90°, то треугольник не прямоугольный.
2. ΔMNK - равнобедренный. Углы ∠N = 81° и ∠M = 81°, значит, треугольник равнобедренный.
3. ∠1 - внешний угол треугольника MNK. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. ∠1 = ∠M + ∠K = 81° + 18° = 99°. Значит, это внешний угол.
4. ∠2 - внешний угол треугольника MNK. ∠2 = ∠N + ∠K = 81° + 18° = 99°. Этот угол не является внешним.

Ответ: 3

Часть B

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC углы при основании равны 45°. Так как BH - высота, проведенная к гипотенузе, то она также является медианой и биссектрисой. Значит, ∠ABH = 45°/2 = 22.5°.

∠BAH = 90° - 22.5° = 67.5°.

∠BHA = 90°.

Ответ: ∠ABH = 22.5°, ∠BAH = 67.5°, ∠BHA = 90°

Часть C

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники ΔACD и ΔBDC.
• AC = BD (дано).
• CD - общая сторона.
• ∠ACD = ∠BDC = 90° (AC и BD - перпендикуляры).

Следовательно, ΔACD = ΔBDC по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔACD = ΔBDC

Задача 4

Дано: ΔPRS, ∠P = 84°, ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S.

Решение:

1. Пусть ∠R = x, тогда внешний угол при вершине S равен 4x.
2. Внутренний угол ∠S = 180° - 4x.
3. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠P + ∠R + ∠S = 180°.
4. 84° + x + 180° - 4x = 180°.
5. 3x = 84°.
6. x = 28°. ∠R = 28°.
7. ∠S = 180° - 4 * 28° = 180° - 112° = 68°.

Ответ: ∠R = 28°, ∠S = 68°

Задача 5

Доказательство:

• Так как OM || AC, то ∠BOM = ∠BAC и ∠BMO = ∠BCA как соответственные углы.
• ΔABC равнобедренный, значит ∠BAC = ∠BCA.
• Следовательно, ∠BOM = ∠BMO.
• В ΔBOM углы при основании равны, значит, он равнобедренный.

Ответ: ΔBOM - равнобедренный.

Ответ: 3