Вариант Б1 В треугольнике АВС высо- та BD делит угол В на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 10°. а) Докажите, что треуголь- ник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треуголь- ника пересекаются в точке О. Найдите ∠BOC.

а) Рассмотрим треугольник ABC:

• ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 40° + 10° = 50°.
• ∠A + ∠ABC + ∠C = 180° (сумма углов треугольника).
• Так как BD - высота, то ∠BDA = 90°.
• В треугольнике ABD: ∠A = 180° - ∠ABD - ∠BDA = 180° - 40° - 90° = 50°.
• Следовательно, ∠A = ∠ABC = 50°.
• Таким образом, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

б) Пусть высоты AA₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Рассмотрим четырехугольник A₁BC₁O:

• ∠A₁BO + ∠A₁OC₁ + ∠BC₁O + ∠C₁A₁B = 360°.
• ∠A₁BO = 50°, ∠BC₁O = 90°, ∠C₁A₁B = 90°.
• Тогда ∠A₁OC₁ = 360° - 50° - 90° - 90° = 130°.
• ∠BOC = ∠A₁OC₁ = 130° (как вертикальные).