Вариант Б2 1 В прямоугольном треуголь- нике биссектриса наимень- шего угла пересекает катет под углом 110°. Найдите ос- трые углы данного треуголь- ника.

Разберем задачу по геометрии.

1) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Биссектриса наименьшего угла A пересекает катет BC в точке D. Угол ADC = 110°.

2) Так как AD - биссектриса угла A, то угол CAD = углу BAD. Обозначим угол CAD = x.

3) Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол ACD + угол ADC + угол CAD = 180°. Подставим известные значения: 90° + 110° + x = 180°.

4) Выразим x: x = 180° - 90° - 110° = -20°. Это неверно, так как угол не может быть отрицательным. Значит, биссектриса пересекает катет под углом, смежным с углом ADC.

5) Угол ADB - смежный с углом ADC, поэтому угол ADB = 180° - 110° = 70°.

6) Рассмотрим треугольник ADB. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол DAB + угол ABD + угол ADB = 180°. Подставим известные значения: x + угол B + 70° = 180°.

7) Так как AD - биссектриса, то угол A = 2x. В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°. Следовательно, угол A + угол B = 90°, то есть 2x + угол B = 90°.

8) Получаем систему уравнений:

x + угол B + 70° = 180°

2x + угол B = 90°

9) Из первого уравнения выразим угол B: угол B = 180° - 70° - x = 110° - x.

10) Подставим это выражение во второе уравнение: 2x + 110° - x = 90°.

11) Решим уравнение относительно x: x = 90° - 110° = -20°. Опять получили отрицательное значение, что не имеет смысла в геометрии.

12) Перепроверим условие. Если биссектриса проведена к меньшему углу, то угол ADC должен быть больше 90 градусов. Пусть угол ADC = 110, тогда угол ADB=180-110=70. Пусть наименьший угол - угол А, тогда угол А меньше угла В. Угол А=2x, угол В=90-2х. Получаем уравнение x+70+90-2x=180, откуда х= -20. Этого быть не может.

13) Рассмотрим случай, когда биссектриса проведена к углу В. Тогда угол А будет больше угла В. Пусть угол А=90-х, угол В=х. Тогда половина угла В = х/2. Далее, если угол BDA = 110, то угол BDC = 70.

$$x/2+70+90=180$$

$$x/2=20$$

$$x=40$$

14) Если угол В=40, то угол А= 90-40=50

Ответ: 50°, 40°.