Вариант А1, Задача 2: Угол АВС равен 120°. Из точки А проведен перпендикуляр АМ к прямой ВС. Найдите длину отрезка ВМ, если АВ = 18 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). В этом треугольнике угол \( \angle AMB = 90^{\circ} \), так как \( AM \) — перпендикуляр к \( BC \).
2. Угол \( \angle ABC = 120^{\circ} \). Так как \( M \) лежит на прямой \( BC \), угол \( \angle ABM \) смежный с \( \angle ABC \) или является им. В данном случае, чтобы провести перпендикуляр из \( A \) на прямую \( BC \), точка \( M \) будет лежать на продолжении отрезка \( BC \) за точку \( B \) (если \( B \) между \( M \) и \( C \)), или \( B \) будет лежать между \( M \) и \( C \) (если \( M \) на отрезке \( BC \)). Судя по условию, \( M \) лежит на прямой \( BC \), и \( \angle ABC = 120^{\circ} \) - тупой угол. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) угол \( \angle ABM \) будет равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \), против угла \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы. У нас нет угла \( 30^{\circ} \).
4. Используем тригонометрию. В \( \triangle ABM \): \( \cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB} \).
5. \( \cos(60^{\circ}) = \frac{BM}{18} \).
6. \( \frac{1}{2} = \frac{BM}{18} \).
7. \( BM = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Ответ: 9 см.