Вариант 4 1. Решите систему уравнений: { 3x-2y=16, { x+4y=-4. 2. За 15 акций компании «Трансгаз» и 10 акций компании «Суперсталь» заплатили 35000 р. Сколько сто- ит одна акция каждой компании, если акция «Трансга- за» на 1000 р. дешевле акции «Суперстали»? 3. Решите систему уравнений: { 4x-y-24=2(5x-2y), { 3y-2=4-(x-y). 4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (-2; 11) и В(12; 4). Напишите уравнение этой прямой. 5. Выясните, имеет ли решения система и сколько: { 4x-y=7, { 2y+14=8x.

Решение:

1. Система уравнений:

\( \begin{cases} 3x-2y=16 \\ x+4y=-4 \end{cases} \)

Выразим \( x \) из второго уравнения:

\( x = -4 - 4y \)

Подставим в первое уравнение:

\( 3(-4-4y)-2y=16 \)

\( -12-12y-2y=16 \)

\( -14y = 16+12 \)

\( -14y = 28 \)

\( y = -2 \)

Подставим \( y=-2 \) в выражение для \( x \):

\( x = -4 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \)

Ответ: \( x=4, y=-2 \)

2. Задача об акциях:

Пусть \( x \) — цена акции «Трансгаз», \( y \) — цена акции «Суперсталь».

\( \begin{cases} 15x+10y=35000 \\ x = y-1000 \end{cases} \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 15(y-1000)+10y=35000 \)

\( 15y - 15000 + 10y = 35000 \)

\( 25y = 35000 + 15000 \)

\( 25y = 50000 \)

\( y = 2000 \) (цена акции «Суперсталь»)

\( x = y - 1000 = 2000 - 1000 = 1000 \) (цена акции «Трансгаз»)

Ответ: акция «Трансгаз» стоит 1000 р., акция «Суперсталь» — 2000 р.

3. Система уравнений:

\( \begin{cases} 4x-y-24=2(5x-2y) \\ 3y-2=4-(x-y) \end{cases} \)

Раскроем скобки и упростим:

\( \begin{cases} 4x-y-24=10x-4y \\ 3y-2=4-x+y \end{cases} \)

Перенесем переменные в левую часть, числа в правую:

\( \begin{cases} 4x-10x-y+4y=24 \\ x+3y-y=4+2 \end{cases} \) → \( \begin{cases} -6x+3y=24 \\ x+2y=6 \end{cases} \)

Разделим первое уравнение на 3:

\( \begin{cases} -2x+y=8 \\ x+2y=6 \end{cases} \)

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 8+2x \)

Подставим во второе уравнение:

\( x+2(8+2x)=6 \)

\( x+16+4x=6 \)

\( 5x = 6-16 \)

\( 5x = -10 \)

\( x = -2 \)

Подставим \( x=-2 \) в выражение для \( y \):

\( y = 8+2(-2) = 8-4 = 4 \)

Ответ: \( x=-2, y=4 \)

4. Уравнение прямой:

Прямая \( y = kx+b \) проходит через точки \( A(-2; 11) \) и \( B(12; 4) \).

Подставим координаты точек в уравнение:

\( \begin{cases} 11 = k(-2)+b \\ 4 = k(12)+b \end{cases} \) → \( \begin{cases} -2k+b=11 \\ 12k+b=4 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (12k+b) - (-2k+b) = 4 - 11 \)

\( 12k+b+2k-b = -7 \)

\( 14k = -7 \)

\( k = -0.5 \)

Подставим \( k=-0.5 \) в первое уравнение:

\( -2(-0.5)+b=11 \)

\( 1+b=11 \)

\( b=10 \)

Уравнение прямой: \( y = -0.5x+10 \).

Ответ: \( y = -0.5x+10 \)

5. Имеет ли решения система и сколько:

\( \begin{cases} 4x-y=7 \\ 2y+14=8x \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( 2y = 8x-14 \)

\( y = 4x-7 \)

Теперь система имеет вид:

\( \begin{cases} 4x-y=7 \\ y=4x-7 \end{cases} \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 4x-(4x-7)=7 \)

\( 4x-4x+7=7 \)

\( 7=7 \)

Это верное равенство, оно выполняется при любом \( x \). Значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.