Вариант 4 1. На рисунке 68 точка O – центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD. 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K - точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней. 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от двух данных точек. Сколько решений может иметь задача?

Решение:

1. В треугольнике OBC, OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол OBC = ∠OCB. Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°. ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°. 2 * ∠OBC + 40° = 180°. 2 * ∠OBC = 140°. ∠OBC = 70°.
2. Так как FK — касательная, то OK ⊥ FK. Треугольник OFK — прямоугольный с прямым углом ∠OKF. По теореме Пифагора: $$OK^2 + FK^2 = OF^2$$. Дано OK = 14 см, ∠FOK = 45°. В прямоугольном треугольнике OFK: OF = OK / cos(45°) = 14 / $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ = $$14\sqrt{2}$$ см. FK = OK * tan(45°) = 14 * 1 = 14 см.
3. В треугольнике OBC, OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. В треугольнике OBD, OB = OD (радиусы), значит, он равнобедренный. Дано ∠BOC = ∠BOD. Так как треугольники OBC и OBD равнобедренные и угол при вершине у них равен, а боковые стороны (радиусы) равны, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, соответствующие стороны BC и BD равны.
4. Построение равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте, проведённой к ней: 1. Отложите отрезок, равный высоте. 2. От конца этого отрезка (который будет вершиной равнобедренного треугольника) постройте перпендикулярную прямую. 3. На этой прямой отложите отрезок, равный боковой стороне. 4. Через полученную точку и конец высоты проведите прямую. 5. От конца высоты (который является вершиной) отложите отрезок, равный второй боковой стороне, так, чтобы он пересекал построенную прямую. 6. Соедините концы боковых сторон.
5. Даны угол и две точки. Искомая точка должна лежать на биссектрисе угла (т.к. она равноудалена от сторон угла) и на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему две данные точки (т.к. она равноудалена от двух данных точек). Решений может быть два, одно или ни одного, в зависимости от расположения биссектрисы угла и серединного перпендикуляра.