Вариант 4 1. На координатной плоскости постройте отрезок DE и прямую MN, если D(0; -5), E(4; -1), M(-6; 1), N(6; -5). Запишите координаты точек пересечения прямой MN с построенным отрезком и осями координат.

Решение:

Для решения задачи нам понадобится построить отрезок DE и прямую MN на координатной плоскости, а затем найти точки их пересечения с осями координат и друг с другом.

1. Построение отрезка DE:

Точка D имеет координаты \( (0; -5) \). Точка E имеет координаты \( (4; -1) \). Соединяем эти точки отрезком.

2. Построение прямой MN:

Точка M имеет координаты \( (-6; 1) \). Точка N имеет координаты \( (6; -5) \). Проведём прямую через эти точки.

3. Нахождение уравнения прямой MN:

Уравнение прямой можно найти по двум точкам \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) по формуле:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Подставим координаты точек M \( (-6; 1) \) и N \( (6; -5) \):

\[ \frac{x - (-6)}{6 - (-6)} = \frac{y - 1}{-5 - 1} \]

\[ \frac{x + 6}{12} = \frac{y - 1}{-6} \]

Умножим обе части на -6:

\[ -6 \cdot \frac{x + 6}{12} = y - 1 \]

\[ -\frac{x + 6}{2} = y - 1 \]

Раскроем скобки и выразим y:

\[ -\frac{1}{2}x - 3 = y - 1 \]

\[ y = -\frac{1}{2}x - 3 + 1 \]

\[ y = -\frac{1}{2}x - 2 \]

4. Нахождение точек пересечения прямой MN с осями координат:

Пересечение с осью Oy (абсцисса x = 0):

\[ y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 \]

\[ y = -2 \]

Точка пересечения с осью Oy: \( (0; -2) \).

Пересечение с осью Ox (ордината y = 0):

\[ 0 = -\frac{1}{2}x - 2 \]

\[ \frac{1}{2}x = -2 \]

\[ x = -4 \]

Точка пересечения с осью Ox: \( (-4; 0) \).

5. Нахождение точки пересечения отрезка DE и прямой MN:

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через точки D \( (0; -5) \) и E \( (4; -1) \).

\[ \frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - (-5)}{-1 - (-5)} \]

\[ \frac{x}{4} = \frac{y + 5}{4} \]

Умножим обе части на 4:

\[ x = y + 5 \]

\[ y = x - 5 \]

Теперь найдём точку пересечения прямых \( y = -\frac{1}{2}x - 2 \) и \( y = x - 5 \). Приравняем правые части:

\[ -\frac{1}{2}x - 2 = x - 5 \]

Умножим обе части на 2:

\[ -x - 4 = 2x - 10 \]

\[ -4 + 10 = 2x + x \]

\[ 6 = 3x \]

\[ x = 2 \]

Подставим \( x = 2 \) в уравнение \( y = x - 5 \):

\[ y = 2 - 5 \]

\[ y = -3 \]

Точка пересечения прямых: \( (2; -3) \).

6. Проверка, что точка пересечения (2; -3) лежит на отрезке DE:

Координата x = 2 находится между 0 (x_D) и 4 (x_E). Координата y = -3 находится между -5 (y_D) и -1 (y_E).

Следовательно, точка \( (2; -3) \) лежит на отрезке DE.

7. Проверка, что точка пересечения (2; -3) лежит на прямой MN:

Уравнение прямой MN: \( y = -\frac{1}{2}x - 2 \). Подставим \( x = 2 \):

\[ y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 2 = -1 - 2 = -3 \]

Точка \( (2; -3) \) лежит на прямой MN.

Итог:

Координаты точек пересечения:

• Прямой MN с осью Oy: \( (0; -2) \)
• Прямой MN с осью Ox: \( (-4; 0) \)
• Прямой MN с отрезком DE: \( (2; -3) \)

Ответ: Точки пересечения: \( (0; -2) \) (с осью Oy), \( (-4; 0) \) (с осью Ox), \( (2; -3) \) (с отрезком DE).