Вариант 3 1. Упростите выражение 2х (2x+3y)-(x+y)². 2. Решите систему уравнений: ( 4х-у=9, (3x+7y=-1. 3. а) Постройте график функции у=2x+2. б) Определите, проходит ли график функции через точку А (-10; -18). 4. Разложите на множители: a) 2a³x³-2a³x² - 10a²x; б) a²+5a+5b-b². 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, вышел пешеход. Через 0,5 ч навстречу ему из пункта В вышел второй пешеход и встретился с первым через 1,5 ч после своего выхода. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.

1. Упростите выражение

\( 2x(2x+3y) - (x+y)^2 \)

1. Раскроем скобки: \( 4x^2 + 6xy - (x^2 + 2xy + y^2) \)
2. Раскроем вторую скобку, изменив знаки: \( 4x^2 + 6xy - x^2 - 2xy - y^2 \)
3. Приведём подобные слагаемые: \( (4x^2 - x^2) + (6xy - 2xy) - y^2 \)
4. Получим: \( 3x^2 + 4xy - y^2 \)

Ответ: \( 3x^2 + 4xy - y^2 \).

2. Решите систему уравнений

Система уравнений:

\[ \begin{cases} 4x - y = 9 \\ 3x + 7y = -1 \end{cases} \]

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 4x - 9 \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 3x + 7(4x - 9) = -1 \).
3. Раскроем скобки: \( 3x + 28x - 63 = -1 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( 31x = 62 \).
5. Найдем \( x \): \( x = \frac{62}{31} = 2 \).
6. Подставим \( x = 2 \) в уравнение для \( y \): \( y = 4(2) - 9 = 8 - 9 = -1 \).

Ответ: \( x = 2, y = -1 \).

3. График функции

а) Построение графика функции \( y = 2x + 2 \)

Для построения графика найдём две точки:

• При \( x = 0 \), \( y = 2(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
• При \( x = -1 \), \( y = 2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0 \). Точка (-1; 0).

б) Проходит ли график через точку А (-10; -18)?

Подставим координаты точки А в уравнение функции:

\( -18 = 2(-10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \)

Равенство верно. Следовательно, график проходит через точку А.

Ответ: Да, график проходит через точку А (-10; -18).

4. Разложите на множители

а) \( 2a^3x^3 - 2a^3x^2 - 10a^2x \)

1. Вынесем общий множитель \( 2a^2x \): \( 2a^2x(a x^2 - a x - 5) \)

Ответ: \( 2a^2x(a x^2 - a x - 5) \).

б) \( a^2 + 5a + 5b - b^2 \)

1. Перегруппируем слагаемые: \( (a^2 - b^2) + (5a + 5b) \)
2. Разложим разность квадратов: \( (a-b)(a+b) + 5(a+b) \)
3. Вынесем общий множитель \( (a+b) \): \( (a+b)(a-b+5) \)

Ответ: \( (a+b)(a-b+5) \).

5. Задача о пешеходах

Пусть \( v_1 \) — скорость первого пешехода, \( v_2 \) — скорость второго пешехода.

Известно, что \( v_1 = v_2 - 2 \) км/ч.

Время до встречи первого пешехода: \( t_1 = 0.5 + 1.5 = 2 \) часа.

Время в пути второго пешехода до встречи: \( t_2 = 1.5 \) часа.

Расстояние, пройденное первым пешеходом: \( S_1 = v_1 t_1 = (v_2 - 2) t 2 = 2v_2 - 4 \) км.

Расстояние, пройденное вторым пешеходом: \( S_2 = v_2 t_2 = 1.5v_2 \) км.

Общее расстояние равно сумме пройденных расстояний: \( S_1 + S_2 = 17 \) км.

\( (2v_2 - 4) + 1.5v_2 = 17 \)

\( 3.5v_2 - 4 = 17 \)

\( 3.5v_2 = 21 \)

\( v_2 = \frac{21}{3.5} = \frac{210}{35} = 6 \) км/ч.

Теперь найдем скорость первого пешехода: \( v_1 = v_2 - 2 = 6 - 2 = 4 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого пешехода — 4 км/ч, скорость второго пешехода — 6 км/ч.