Вариант 3 1. Решите систему уравнений: { 4x+3y=2, { x-4y=-9. 2. На турбазе имеются палатки и домики, вместе их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке - 2. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если тур- база рассчитана на 70 человек? 3. Решите систему уравнений: { 3(2x+y)-26=3x-2y, { 15-(x-3y)=2x+5. 4. Прямая y= kx + b проходит через точки А (10; -9) и B(-6; 7). Hапишите уравнение этой прямой. 5. Выясните, имеет ли решение система: { 5x-3y=8, { 15x-9y=8.

Решение:

1. Система уравнений:

\( \begin{cases} 4x+3y=2 \\ x-4y=-9 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 4:

\( \begin{cases} 4x+3y=2 \\ 4(x-4y)=-9 \cdot 4 \end{cases} \) → \( \begin{cases} 4x+3y=2 \\ 4x-16y=-36 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (4x+3y) - (4x-16y) = 2 - (-36) \)

\( 4x+3y-4x+16y = 2+36 \)

\( 19y = 38 \)

\( y = \frac{38}{19} = 2 \)

Подставим \( y=2 \) в первое уравнение:

\( 4x + 3(2) = 2 \)

\( 4x + 6 = 2 \)

\( 4x = 2 - 6 \)

\( 4x = -4 \)

\( x = -1 \)

Ответ: \( x=-1, y=2 \)

2. Задача про турбазу:

Пусть \( x \) — количество домиков, \( y \) — количество палаток.

Всего мест: \( 4x + 2y = 70 \)

Всего построек: \( x + y = 25 \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} 4x+2y=70 \\ 2(x+y)=25 \cdot 2 \end{cases} \) → \( \begin{cases} 4x+2y=70 \\ 2x+2y=50 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (4x+2y) - (2x+2y) = 70 - 50 \)

\( 2x = 20 \)

\( x = 10 \) (домиков)

Подставим \( x=10 \) во второе уравнение:

\( 10 + y = 25 \)

\( y = 25 - 10 = 15 \) (палаток)

Ответ: 10 домиков, 15 палаток.

3. Система уравнений:

\( \begin{cases} 3(2x+y)-26=3x-2y \\ 15-(x-3y)=2x+5 \end{cases} \)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\( \begin{cases} 6x+3y-26=3x-2y \\ 15-x+3y=2x+5 \end{cases} \)

Перенесем переменные в левую часть, а числа в правую:

\( \begin{cases} 6x-3x+3y+2y=26 \\ -x-2x+3y=5-15 \end{cases} \) → \( \begin{cases} 3x+5y=26 \\ -3x+3y=-10 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (3x+5y) + (-3x+3y) = 26 + (-10) \)

\( 8y = 16 \)

\( y = 2 \)

Подставим \( y=2 \) в первое уравнение:

\( 3x+5(2)=26 \)

\( 3x+10=26 \)

\( 3x=16 \)

\( x = \frac{16}{3} \)

Ответ: \( x=\frac{16}{3}, y=2 \)

4. Уравнение прямой:

Прямая \( y = kx+b \) проходит через точки \( A(10; -9) \) и \( B(-6; 7) \).

Подставим координаты точек в уравнение:

\( \begin{cases} -9 = k(10)+b \\ 7 = k(-6)+b \end{cases} \) → \( \begin{cases} 10k+b=-9 \\ -6k+b=7 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (10k+b) - (-6k+b) = -9 - 7 \)

\( 10k+b+6k-b = -16 \)

\( 16k = -16 \)

\( k = -1 \)

Подставим \( k=-1 \) во второе уравнение:

\( -6(-1)+b=7 \)

\( 6+b=7 \)

\( b=1 \)

Уравнение прямой: \( y = -1x+1 \) или \( y = -x+1 \).

Ответ: \( y = -x+1 \)

5. Имеет ли решение система:

\( \begin{cases} 5x-3y=8 \\ 15x-9y=8 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3:

\( \begin{cases} 3(5x-3y)=8 \cdot 3 \\ 15x-9y=8 \end{cases} \) → \( \begin{cases} 15x-9y=24 \\ 15x-9y=8 \end{cases} \)

Система имеет вид \( \begin{cases} A=24 \\ A=8 \end{cases} \), где \( A = 15x-9y \). Так как \( 24 \neq 8 \), система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.