Вариант 3 1. На рисунке 66 точка O – центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

Решение:

1. В треугольнике OAD, OA = OD (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол ODA = ∠OAD = 34°. Угол FOA является центральным углом, опирающимся на дугу FA. Угол FAD — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Однако, неизвестно, является ли точка F точкой касания или просто другой точкой на окружности. Если предположить, что FOA — это угол, соответствующий дуге AD, то ∠FOA = ∠OAD = 34° (как углы при основании равнобедренного треугольника, если бы FA был параллелен OD). Но это не следует из рисунка. Если предположить, что ∠OAD = 34°, и A, D — точки на окружности, а O — центр, то треугольник OAD равнобедренный. Угол AOD = 180° - 2 * 34° = 180° - 68° = 112°. Если FOA — это тот же угол, то ∠FOA = 112°. Без дополнительной информации о точке F, задача не решается однозначно. Если принять, что OA и OF — радиусы, а ∠OAD = 34° как угол между радиусом и хордой, и предполагается, что FA — хорда, то угол FOA не определяется однозначно. Если же OA и OD — радиусы, а ∠OAD = 34° — это угол при основании равнобедренного треугольника OAD, то ∠AOD = 180° - 2 * 34° = 112°. Если FOA = ∠AOD, то ответ 112°.
2. Так как MN — касательная, то ON ⊥ MN. Следовательно, треугольник OMN — прямоугольный с прямым углом ∠OMN. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OMN: $$MN^2 + OM^2 = ON^2$$. Нам дано ON = 12 см, ∠NOM = 30°. В прямоугольном треугольнике OMN, OM = ON * cos(30°) = 12 * $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ = $$6\sqrt{3}$$ см. MN = ON * sin(30°) = 12 * $$\frac{1}{2}$$ = 6 см.
3. В треугольнике OAK, OA = OK (радиусы), поэтому он равнобедренный. В треугольнике OBK, OB = OK (радиусы), поэтому он равнобедренный. Дано ∠OAK = ∠OBK. Так как ∠OAK — угол при основании равнобедренного треугольника OAK, то ∠OKA = ∠OAK. Так как ∠OBK — угол при основании равнобедренного треугольника OBK, то ∠OKB = ∠OBK. Поскольку ∠OAK = ∠OBK, то ∠OKA = ∠OKB. Значит, OK является биссектрисой угла AKB. В равнобедренном треугольнике OKA, ∠AOK = 180° - 2 * ∠OAK. В равнобедренном треугольнике OKB, ∠BOK = 180° - 2 * ∠OBK. Сумма углов ∠AOK + ∠BOK = ∠AOB. Если DK — диаметр, то ∠AOB может быть любым, если A и B — точки на окружности. Если OA = OB (что верно, т.к. это радиусы), то треугольник OAB равнобедренный. Если ∠OAK = ∠OBK, то углы, опирающиеся на дуги OK и BK соответственно, равны. Хо́рды, стягивающие равные дуги, равны. AK стягивает дугу AK, BK стягивает дугу BK. Если ∠OAK = ∠OBK, то дуга OK = дуга BK. Следовательно, хорды AK = BK.
4. Построение равнобедренного треугольника по основанию и медиане: 1. Отложите отрезок, равный основанию. 2. Постройте серединный перпендикуляр к этому отрезку. 3. От середины основания отложите отрезок, равный медиане, под углом к основанию. 4. Соедините концы основания с концом медианы.
5. Даны угол и окружность. Точка, принадлежащая углу и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Точка, равноудаленная от двух точек, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти две точки. Таким образом, искомая точка является пересечением биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две данные точки. Решений может быть два, одно или ни одного, в зависимости от взаимного расположения угла, окружности и данных точек.