Вариант 3, №1. а) Вычислить sin α, tg α и cos 2α, если cos α = -7/25 и π/2 ≤ α ≤ π. b) Вычислить cos α, tg α и sin 2α, если sin α = 24/25 и π/2 ≤ α ≤ π.

Решение:

№1. а)

Дано: \( \cos \alpha = -\frac{7}{25} \), \( \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \).

Найдём \( \sin \alpha \):

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \)

Так как \( \alpha \) находится во второй четверти \( (\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi) \), \( \sin \alpha \) положителен.

\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \)

Найдём \( \operatorname{tg} \alpha \):

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7} \)

Найдём \( \cos 2\alpha \):

\( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2\left(-\frac{7}{25}\right)^2 - 1 = 2\cdot \frac{49}{625} - 1 = \frac{98}{625} - \frac{625}{625} = -\frac{527}{625} \)

№1. b)

Дано: \( \sin \alpha = \frac{24}{25} \), \( \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \).

Найдём \( \cos \alpha \):

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} \)

Так как \( \alpha \) находится во второй четверти \( (\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi) \), \( \cos \alpha \) отрицателен.

\( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25} \)

Найдём \( \operatorname{tg} \alpha \):

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7} \)

Найдём \( \sin 2\alpha \):

\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = -\frac{336}{625} \)

Ответ: а) \( \sin \alpha = \frac{24}{25}, \operatorname{tg} \alpha = -\frac{24}{7}, \cos 2\alpha = -\frac{527}{625} \). b) \( \cos \alpha = -\frac{7}{25}, \operatorname{tg} \alpha = -\frac{24}{7}, \sin 2\alpha = -\frac{336}{625} \).