Вариант 2 1. В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°. 2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, СС, – высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найти: ∠CAB. 1. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите рас- стояние от точки Г до прямой DE. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°.

Вариант 2

1. Решение:

В треугольнике \( ABC \) \( AB < BC < AC \). Один из углов прямой (\( 90° \)), другой \( 30° \).

Возможны два случая:

1. Прямой угол — \( \angle B = 90° \).
   Тогда \( \angle A + \angle C = 90° \). Если \( \angle C = 30° \), то \( \angle A = 90° - 30° = 60° \). Углы: \( \angle A = 60°, \angle B = 90°, \angle C = 30° \).
   Стороны напротив этих углов: \( BC \) против \( \angle A \), \( AC \) против \( \angle B \), \( AB \) против \( \angle C \).
   Так как \( \angle A > \angle C \), то \( BC > AB \). Так как \( \angle B \) наибольший, то \( AC \) — наибольшая сторона. Условие \( AB < BC < AC \) выполняется.
   Ответ: \( \angle A = 60°, \angle B = 90°, \angle C = 30° \).


2. Прямой угол — \( \angle A = 90° \).
   Тогда \( \angle B + \angle C = 90° \). Если \( \angle C = 30° \), то \( \angle B = 90° - 30° = 60° \). Углы: \( \angle A = 90°, \angle B = 60°, \angle C = 30° \).
   Стороны напротив этих углов: \( BC \) против \( \angle A \), \( AC \) против \( \angle B \), \( AB \) против \( \angle C \).
   Так как \( \angle B > \angle C \), то \( AC > AB \). Так как \( \angle A \) наибольший, то \( BC \) — наибольшая сторона. Условие \( AB < BC < AC \) не выполняется, так как \( AC < BC \).


3. Прямой угол — \( \angle C = 90° \).
   Тогда \( \angle A + \angle B = 90° \). Если \( \angle A = 30° \), то \( \angle B = 60° \). Углы: \( \angle A = 30°, \angle B = 60°, \angle C = 90° \).
   Стороны напротив этих углов: \( BC \) против \( \angle A \), \( AC \) против \( \angle B \), \( AB \) против \( \angle C \).
   Так как \( \angle B > \angle A \), то \( AC > BC \). Так как \( \angle C \) наибольший, то \( AB \) — наибольшая сторона. Условие \( AB < BC < AC \) не выполняется, так как \( AB \) — гипотенуза и она должна быть наибольшей, а \( AB > AC \) и \( AB > BC \).

Таким образом, единственно возможный вариант: \( \angle A = 60°, \angle B = 90°, \angle C = 30° \).

2. Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с \( \angle C = 90° \). \( CC_1 \) — высота, \( CC_1 = 5 \) см. \( BC = 10 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( CBC_1 \) (так как \( CC_1 \) — высота, \( \angle CC_1B = 90° \)):

\( \sin \angle B = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( \angle B = 30° \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) \( \angle C = 90° \) и \( \angle B = 30° \). Тогда \( \angle CAB = 180° - 90° - 30° = 60° \).

Ответ: \( 60° \).

1. Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( DCE \) с \( \angle C = 90° \). \( EF \) — биссектриса \( \angle E \). \( FC = 13 \) см. Найти расстояние от точки \( F \) до прямой \( DE \).

Пусть \( FK \) — перпендикуляр, опущенный из \( F \) на \( DE \). Нам нужно найти длину \( FK \).

Так как \( EF \) — биссектриса, то \( \angle CEF = \angle DEF \). Обозначим этот угол как \( \alpha \).

В прямоугольном треугольнике \( EFC \): \( \angle C = 90° \), \( FC = 13 \) см. \( \angle CEF = \alpha \).

В прямоугольном треугольнике \( DCF \) (если \( F \) на \( DE \)), \( \angle C = 90° \). Но \( F \) лежит на \( DE \), а не на \( DC \) или \( CE \).

Пусть \( \angle DCE = 90° \). \( EF \) — биссектриса \( \angle DCE \). Это невозможно, биссектриса проводится от вершины угла.

Предположим, что \( \angle C = 90° \), \( EF \) — биссектриса \( \angle CED \). Тогда \( \angle CEF = \angle DEF = \alpha \).

В \( \triangle EFC \), \( \angle C = 90° \), \( FC = 13 \). \( \angle CEF = \alpha \).

Пусть \( FK \) — перпендикуляр из \( F \) на \( DE \).

Из свойства биссектрисы, расстояние от точек на биссектрисе до сторон угла равны. Значит, расстояние от \( F \) до \( CE \) равно расстоянию от \( F \) до \( DE \). Расстояние от \( F \) до \( CE \) — это \( FC \), так как \( FC \) перпендикулярно \( CE \) (поскольку \( \angle C = 90° \)).

Следовательно, расстояние от \( F \) до \( DE \) также равно \( FC \).

Ответ: \( 13 \) см.

2. Решение:

В условии указано: «Один из углов прямоугольного треугольника равен \( 60° \)». Это то же самое условие, что и в Варианте 1, задаче 2, но без указания конкретного значения стороны или отношения. Поэтому задача не имеет однозначного числового ответа без дополнительных данных.

Если бы речь шла о той же задаче, что и в Варианте 1, то ответ был бы \( 28 \) см.

Ответ: Задача не имеет однозначного решения без дополнительных данных.