Вариант 2 1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10 = 0; б) 2x²-3x=0; в) 16х² = 49; г) х²-2x-35=0. 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х²+11x+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение:

1. 1. Решение уравнений:
   • а) 3x² + 13x - 10 = 0
     Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \).
     \( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \).
     Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \), \( x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5 \).
   • б) 2x² - 3x = 0
     Вынесем \( x \) за скобки: \( x(2x - 3) = 0 \).
     Отсюда \( x = 0 \) или \( 2x - 3 = 0 \), что даёт \( 2x = 3 \) и \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \).
   • в) 16x² = 49
     Разделим обе части на 16: \( x^2 = \frac{49}{16} \).
     Извлечём квадратный корень: \( x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} = \pm \frac{7}{4} \).
   • г) x² - 2x - 35 = 0
     Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \).
     \( \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \).
     Корни уравнения: \( x_1 = \frac{2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 \).
2. 2. Решение задачи о прямоугольнике:
   Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).
   Периметр: \( 2(a + b) = 30 \) см, откуда \( a + b = 15 \) см.
   Площадь: \( ab = 56 \) см².
   Составим систему уравнений:
   \(\begin{cases}\) a + b = 15 \\ ab = 56 \(\end{cases}\)
   Из первого уравнения выразим \( b = 15 - a \). Подставим во второе:
   \( a(15 - a) = 56 \)
   \( 15a - a^2 = 56 \)
   \( a^2 - 15a + 56 = 0 \)
   Найдём дискриминант: \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \).
   \( \sqrt{D} = 1 \).
   Корни: \( a_1 = \frac{15 + 1}{2} = 8 \), \( a_2 = \frac{15 - 1}{2} = 7 \>.
   Если \( a = 8 \) см, то \( b = 15 - 8 = 7 \) см.
   Если \( a = 7 \) см, то \( b = 15 - 7 = 8 \) см.
   Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.
3. 3. Нахождение корня и свободного члена:
   Дано уравнение \( x^2 + 11x + q = 0 \) и один из корней \( x_1 = -7 \).
   Подставим известный корень в уравнение:
   \( (-7)^2 + 11(-7) + q = 0 \)
   \( 49 - 77 + q = 0 \)
   \( -28 + q = 0 \)
   \( q = 28 \>.
   Теперь уравнение выглядит так: \( x^2 + 11x + 28 = 0 \>.
   По теореме Виета, произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \).
   \( -7 \cdot x_2 = 28 \)
   \( x_2 = \frac{28}{-7} = -4 \>.
   Другой корень равен -4.

Ответ: 1. а) \( x = \frac{2}{3}, x = -5 \); б) \( x = 0, x = 1.5 \); в) \( x = \pm \frac{7}{4} \); г) \( x = 7, x = -5 \). 2. Стороны прямоугольника 7 см и 8 см. 3. Другой корень -4, свободный член q = 28.