Вариант 2 1. Основание прямой четырёхугольной призмы – параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см и углом 45° между ними. Высота призмы равна 6 см. Найдите объём призмы. 2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол 60°, а сторона основания равна 8 см. 3. Найдите объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 см и 7 см, а высота 12 см.

Вариант 2

1. 1. Объём призмы

   
   

   Основание призмы – параллелограмм.

   
   

   Площадь основания \( S \) равна произведению двух сторон на синус угла между ними:

   
   

   \[ S = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot \sin(45^\circ) = 20 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

   
   

   Объём призмы \( V \) равен произведению площади основания на высоту:

   
   

   \[ V = S \cdot h = 10\sqrt{2} \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 60\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 60√2 см³.

   
   



2. 2. Объём пирамиды

   
   

   Основание пирамиды – правильный четырёхугольник (квадрат).

   
   

   Сторона основания \( a = 8 \) см.

   
   

   Площадь основания \( S = a^2 = 8^2 = 64 \) см².

   
   

   Пусть \( b \) – боковое ребро, \( h \) – высота пирамиды, \( α \) – угол между боковым ребром и плоскостью основания.

   
   

   Из условия имеем: \( α = 60^\circ \).

   
   

   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковым ребром и радиусом описанной окружности основания (половина диагонали), имеем:

   
   

   \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{d/2} \implies h = \frac{d}{2} \tan(60^\circ) \]

   
   

   Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см.

   
   

   Половина диагонали \( d/2 = 4\sqrt{2} \) см.

   
   

   \[ h = 4\sqrt{2} \text{ см} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6} \text{ см} \]

   
   

   Объём пирамиды \( V \) равен:

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \text{ см}^2 \cdot 4\sqrt{6} \text{ см} = \frac{256\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 256√6 / 3 см³.

   
   



3. 3. Объём усечённой пирамиды

   
   

   Основания – правильные четырёхугольники (квадраты).

   
   

   Площадь большего основания \( S_1 \) (сторона \( a_1 = 7 \) см):

   
   

   \[ S_1 = a_1^2 = 7^2 = 49 \text{ см}^2 \]

   
   

   Площадь меньшего основания \( S_2 \) (сторона \( a_2 = 4 \) см):

   
   

   \[ S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2 \]

   
   

   Высота усечённой пирамиды \( h = 12 \) см.

   
   

   Объём усечённой пирамиды \( V \) равен:

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} (49 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 + \sqrt{49 \cdot 16} \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 4 \text{ см} (65 \text{ см}^2 + \sqrt{784} \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 4 \text{ см} (65 \text{ см}^2 + 28 \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 4 \text{ см} (93 \text{ см}^2) = 372 \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 372 см³.