Вариант 2 1. Найдите значение выражения: $\sqrt{789^3 + 3 \cdot 789^2 \cdot 211 + 3 \cdot 789 \cdot 211^2 + 211^3}$ 2. Решите уравнение: $\frac{2x+6}{x^2+x} - \frac{x-3}{x^2+3x+2} = 0$ 3. Решите неравенство: $\frac{x^2-10x}{x} \le 0$ 4. Упростите выражение: $\left(\frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a+2b}{a^2-2ab}\right) \cdot \frac{4b^2-a^2}{4b^2}$ 5. Пешеход дошёл от дома до остановки и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. К остановке он шёл со скоростью 6 км/ч, а обратно со скоростью 4 км/ч. Чему равно расстояние от дома до остановки?

Question

Вариант 2 1. Найдите значение выражения: $\sqrt{789^3 + 3 \cdot 789^2 \cdot 211 + 3 \cdot 789 \cdot 211^2 + 211^3}$ 2. Решите уравнение: $\frac{2x+6}{x^2+x} - \frac{x-3}{x^2+3x+2} = 0$ 3. Решите неравенство: $\frac{x^2-10x}{x} \le 0$ 4. Упростите выражение: $\left(\frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a+2b}{a^2-2ab}\right) \cdot \frac{4b^2-a^2}{4b^2}$ 5. Пешеход дошёл от дома до остановки и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. К остановке он шёл со скоростью 6 км/ч, а обратно со скоростью 4 км/ч. Чему равно расстояние от дома до остановки?

$Фото задания: Вариант 2 1. Найдите значение выражения: $\sqrt{789^3 + 3 \cdot 789^2 \cdot 211 + 3 \cdot 789 \cdot 211^2 + 211^3}$ 2.…$ Фото задания

Accepted Answer

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:
Выражение под корнем является формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Здесь $a = 789$ и $b = 211$.
$789^3 + 3 \cdot 789^2 \cdot 211 + 3 \cdot 789 \cdot 211^2 + 211^3 = (789 + 211)^3$
$(789 + 211)^3 = (1000)^3 = 1000000000$
Значение выражения: $\sqrt{(1000)^3} = \sqrt{10^9}$. Это не является целым числом. Возможно, опечатка в задании, и под корнем должно быть $(a+b)^2$ или $(a+b)^3$ в степени, позволяющей извлечь корень.
Если предположить, что под корнем $(a+b)^2$: $\sqrt{(789+211)^2} = \sqrt{1000^2} = 1000$.
Если предположить, что под корнем $(a+b)^3$, то $\sqrt{1000^3} = 1000^{\frac{3}{2}} = (10^3)^{\frac{3}{2}} = 10^{\frac{9}{2}} = 10^4 \sqrt{10} \approx 31622$. Это маловероятно.
Самый вероятный вариант, что под корнем должно было быть $(789+211)^2$ или $(a+b)^2$ с другими числами. Примем, что это $(a+b)^2$.
$a+b = 789 + 211 = 1000$.
$\sqrt{1000^2} = 1000$.
Ответ: 1000
2. Решите уравнение:
$\frac{2x+6}{x^2+x} - \frac{x-3}{x^2+3x+2} = 0$
Разложим знаменатели:
$x^2+x = x(x+1)$
$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$
Общий знаменатель: $x(x+1)(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1, x \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$(2x+6)(x+2) - (x-3)(x) = 0$
$(2x^2 + 4x + 6x + 12) - (x^2 - 3x) = 0$
$2x^2 + 10x + 12 - x^2 + 3x = 0$
$x^2 + 13x + 12 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 13^2 - 4 · 1 · 12 = 169 - 48 = 121$
$\sqrt{D} = 11$
$x_1 = \frac{-13 + 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-13 - 11}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Проверим ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1, x \neq -2$.
Корень $x_1 = -1$ не подходит, так как он входит в ОДЗ.
Ответ: x = -12
3. Решите неравенство:
$\frac{x^2-10x}{x} \le 0$
Разложим числитель: $x(x-10)$.
$\frac{x(x-10)}{x} \le 0$
Сокращаем $x$ (при $x \neq 0$):
$x-10 \le 0$
$x \le 10$
Учитывая ОДЗ $x \neq 0$, получаем:
$x \neq 0$ и $x <= 10$.
Интервалы: $(-∞, 0) ∪ (0, 10]$.
Ответ: (-∞, 0) U (0, 10]
4. Упростите выражение:
$\left(\frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a+2b}{a^2-2ab}\right) \cdot \frac{4b^2-a^2}{4b^2}$
Разложим знаменатели дробей в скобках:
$a^2+2ab = a(a+2b)$
$a^2-2ab = a(a-2b)$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $a(a+2b)(a-2b)$:
$\frac{(a-2b)(a-2b)}{a(a+2b)(a-2b)} - \frac{(a+2b)(a+2b)}{a(a-2b)(a+2b)}$
$\frac{(a-2b)^2 - (a+2b)^2}{a(a^2-4b^2)}$
Раскроем квадраты в числителе:
$(a^2 - 4ab + 4b^2) - (a^2 + 4ab + 4b^2)$
$a^2 - 4ab + 4b^2 - a^2 - 4ab - 4b^2 = -8ab$
Теперь выражение в скобках: $\frac{-8ab}{a(a^2-4b^2)}$
Упростим: $\frac{-8b}{a^2-4b^2}$
Теперь умножим на вторую дробь:
$\frac{-8b}{a^2-4b^2} · \frac{4b^2-a^2}{4b^2}$
Заметим, что $4b^2-a^2 = -(a^2-4b^2)$.
$\frac{-8b}{a^2-4b^2} · \frac{-(a^2-4b^2)}{4b^2}$
Сокращаем $(a^2-4b^2)$:
$\frac{-8b}{-1} · \frac{-1}{4b^2}$
$\frac{8b}{4b^2}$
$\frac{2}{b}$
Ответ: $\frac{2}{b}$
5. Пешеход дошёл от дома до остановки и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. К остановке он шёл со скоростью 6 км/ч, а обратно со скоростью 4 км/ч. Чему равно расстояние от дома до остановки?
Пусть $S$ — расстояние от дома до остановки (в км).
Время в пути туда: $t_1 = \frac{S}{6}$ ч.
Время в пути обратно: $t_2 = \frac{S}{4}$ ч.
Общее время в пути: $t_1 + t_2 = 1$ ч.
$\frac{S}{6} + \frac{S}{4} = 1$
Приведём к общему знаменателю 12:
$\frac{2S}{12} + \frac{3S}{12} = 1$
$\frac{5S}{12} = 1$
$5S = 12$
$S = \frac{12}{5} = 2.4$
Ответ: 2.4 км

Ответ:

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Решите уравнение:

3. Решите неравенство:

4. Упростите выражение: