Вариант 2 1. Дано: ∠ACB = 90°, ∠B = 40°, CD — высота (рис. 4.172). Найти: острые углы ∆ACD. 2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите острые углы данного треугольника. 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Вариант 2

1. 
   

   Дано: \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle B = 40^{\circ} \), CD — высота.

   
   

   Решение:

   
   

   В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 40^{\circ} \).

   
   

   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^{\circ} \), значит, \( \angle CAB = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

   
   

   CD — высота, следовательно, \( \angle CDB = 90^{\circ} \) и \( \angle CDA = 90^{\circ} \).

   
   

   Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ACD \).

   
   

   У нас есть \( \angle CAD = \angle CAB = 50^{\circ} \) и \( \angle CDA = 90^{\circ} \).

   
   

   Сумма углов в \( \triangle ACD \) равна \( 180^{\circ} \).

   
   

   \( \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

   
   

   Ответ: Острые углы \( \triangle ACD \) равны \( 50^{\circ} \) и \( 40^{\circ} \).

   
   


2. 
   

   Условие: Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен \( 22^{\circ} \). Найдите острые углы данного треугольника.

   
   

   Решение:

   
   

   Пусть \( \triangle ABC \) — прямоугольный с \( \angle C = 90^{\circ} \). Наибольший угол — \( \angle C \). Проведем из \( C \) биссектрису \( CL \) и высоту \( CH \). Угол между ними \( \angle LCH = 22^{\circ} \).

   
   

   Биссектриса \( CL \) делит \( \angle C \) пополам: \( \angle ACL = \angle BCL = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

   
   

   В прямоугольном \( \triangle BCH \) \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

   
   

   \( \angle BCH = \angle BCL - \angle LCH = 45^{\circ} - 22^{\circ} = 23^{\circ} \).

   
   

   Сумма углов в \( \triangle BCH \): \( \angle CBH + \angle BCH + \angle BHC = 180^{\circ} \). \( \angle CBH + 23^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle CBH = 180^{\circ} - 113^{\circ} = 67^{\circ} \).

   
   

   Острые углы \( \triangle ABC \) — \( \angle A \) и \( \angle B \).

   
   

   \( \angle B = \angle CBH = 67^{\circ} \).

   
   

   \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ} \).

   
   

   Ответ: Острые углы треугольника равны \( 67^{\circ} \) и \( 23^{\circ} \).

   
   


3. 
   

   Условие: Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

   
   

   Доказательство:

   
   

   Рассмотрим два остроугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

   
   

   Пусть \( AB = A_1B_1 \).

   
   

   Пусть \( CM \) — медиана, проведенная к стороне \( AB \) в \( \triangle ABC \), и \( C_1M_1 \) — медиана, проведенная к стороне \( A_1B_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \). По условию \( CM = C_1M_1 \).

   
   

   Пусть \( CH \) — высота, проведенная к стороне \( AB \) в \( \triangle ABC \), и \( C_1H_1 \) — высота, проведенная к стороне \( A_1B_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \). По условию \( CH = C_1H_1 \).

   
   

   Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle CMH \) и \( \triangle C_1M_1H_1 \). У них \( CH = C_1H_1 \) (катеты) и \( CM = C_1M_1 \) (гипотенузы). Следовательно, \( \triangle CMH = \triangle C_1M_1H_1 \) по катету и гипотенузе.

   
   

   Из равенства этих треугольников следует, что \( MH = M_1H_1 \) и \( \angle CMH = \angle C_1M_1H_1 \).

   
   

   Так как \( CM \) — медиана, то \( AM = MB = AB/2 \). Так как \( C_1M_1 \) — медиана, то \( A_1M_1 = M_1B_1 = A_1B_1/2 \). Поскольку \( AB = A_1B_1 \), то \( AM = MB = A_1M_1 = M_1B_1 \).

   
   

   Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AMС \) и \( \triangle A_1M_1C_1 \). В них \( AM = A_1M_1 \), \( CM = C_1M_1 \) и \( \angle AMC = \angle A_1M_1C_1 \) (вертикальные углы, если \( H \) лежит между \( A \) и \( M \), или смежные, если \( H \) вне отрезка \( AM \), но \( \angle CMH \) и \( \angle C_1M_1H_1 \) равны, что позволяет использовать теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними).

   
   

   Из равенства \( \triangle AMС = \triangle A_1M_1C_1 \) следует, что \( AC = A_1C_1 \).

   
   

   Аналогично, рассмотрим треугольники \( \triangle BMC \) и \( \triangle B_1M_1C_1 \). В них \( BM = B_1M_1 \), \( CM = C_1M_1 \) и \( \angle BMC = \angle B_1M_1C_1 \) (смежные углы с \( \angle AMC \) и \( \angle A_1M_1C_1 \), или вертикальные, в зависимости от расположения). Следовательно, \( \triangle BMC = \triangle B_1M_1C_1 \), откуда \( BC = B_1C_1 \).

   
   

   Итак, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по трем сторонам ( \( AB = A_1B_1 \), \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \)).

   
   

   Следовательно, остроугольные треугольники равны по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.