Вариант 2 (задания) ВАРИАНТ 2 № 1. Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности. № 2. На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол KOL равен 140°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах. № 3. Прямая ВО — ось симметрия угла АВС. Треугольник ВАС симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков АС и АС1, если ВА = 53 мм, ВС = 3,2 см. № 4. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, ∠Q = 60°, ∠S = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. № 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника KLM, в котором KL = LM и <KLM = 50°. Найдите угол LOM. № 6. Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Докажите, что треугольник АВО равен треугольнику ВСО. № 7. * Отрезки RQ и SD являются хордами окружности. Найдите длину хорды SD, если RQ = 12, а расстояния от центра окружности до хорд RQ и SD равны соответственно 8 и 6.

Краткое пояснение:

• Этот вариант содержит задачи по геометрии, схожие с первым вариантом, но с измененными числовыми данными и некоторыми отличиями в формулировках. Требуется знание свойств касательных, центральных и вписанных углов, симметрии, а также радиуса описанной и вписанной окружностей.

Решение:

• № 1: Пусть середина КО - точка М. Тогда ОМ = МК. Так как М лежит на окружности, ОМ = радиус (r). Следовательно, КО = 2r. В прямоугольном треугольнике ОВК (угол ОВК = 90°, так как ВК - касательная), ОВ = r (радиус). По теореме Пифагора: КО^2 = ОВ^2 + ВК^2. (2r)^2 = r^2 + ВК^2. 4r^2 = r^2 + ВК^2. ВК^2 = 3r^2. ВК = r√3. В треугольнике ОВК: cos(∠BOK) = ОВ/КО = r/(2r) = 1/2. Значит, ∠BOK = 60°. Угол ВКС = 2 * (90° - ∠BOK) = 2 * (90° - 60°) = 2 * 30° = 60°.
• № 2: Центральный угол KOL = 140°. Угол KLM - вписанный, опирающийся на дугу KL. Угол LOM - центральный, опирающийся на дугу LM. Дуга KL = 140°. Угол OLM = 90° (LM - касательная). В равнобедренном треугольнике KOL (OK=OL), ∠OKL = ∠OLK = (180° - 140°)/2 = 20°. Угол KLM = ∠OLM - ∠OLK = 90° - 20° = 70°.
• № 3: Прямая ВО - ось симметрии угла ABC. Треугольник BA1C1 симметричен ABC относительно ВО. Это значит, что BC1 = BC = 3,2 см, а BA1 = BA = 53 мм. AC = A1C. Так как нет информации о том, как расположены точки A и C относительно оси симметрии, однозначно определить AC нельзя.
• № 4: Треугольник RQS - прямоугольный (∠S = 90°). QS = 10. ∠Q = 60°. Тогда ∠R = 30°. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза RS = QS / cos(60°) = 10 / (1/2) = 20. Радиус R = RS / 2 = 20 / 2 = 10.
• № 5: Треугольник KLM - равнобедренный, KL = LM, ∠KLM = 50°. ∠LKM = ∠LMK = (180° - 50°) / 2 = 65°. Окружность описана около KLM. О - центр окружности. Угол LOM - центральный угол, опирающийся на дугу LM. Дуга LM = 2 * ∠LKM = 2 * 65° = 130°. Следовательно, ∠LOM = 130°.
• № 6: Окружность вписана в равнобедренный треугольник ABC (AC - основание). О - центр вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит, BO - биссектриса ∠ABC, медиана и высота. Поэтому BO перпендикулярно AC. Также BO делит ∠ABC пополам. Треугольники ABO и CBO имеют: 1) Общую сторону BO. 2) ∠ABO = ∠CBO (так как BO - биссектриса). 3) ∠AOB = ∠COB = 90° (так как BO - высота). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники ABO и CBO равны.
• № 7: Пусть R - радиус окружности. Хоpда RQ = 12. Расстояние от центра до хорды = 8. Половина хорды = 6. R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. R = 10. Хоpда SD. Расстояние от центра до хорды = 6. Половина хорды SD/2. (SD/2)^2 + 6^2 = R^2 = 100. (SD/2)^2 = 100 - 36 = 64. SD/2 = 8. SD = 16.

Ответ:

• № 1: 60°
• № 2: 70°
• № 3: Недостаточно данных для однозначного ответа.
• № 4: 10
• № 5: 130°
• № 6: Доказано выше.
• № 7: 16