Вариант 2. Выяснить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение $\log_5(x^2-5x+6)$. Вычислить: а) $\log_{1/7}\frac{1}{49};\ \log_2 32$; б) $0{,}25^{\log_{1/4}7};\ 7^{\log_7 5}\cdot\log_3 27;\ \log_3 900-\log_3 100;\ 3\log_3 2+\log_3\frac14$; в) $\log_3\sqrt{27}$; г) $13^{\log_{13}7}-2;\ \log_{1/5}5+\log_{1/5}625;\ \log_{0{,}1}0{,}005-\log_{0{,}1}0{,}05$; д) $\frac{\log_{\sqrt3}25}{\log_3 5}$; е) $\log_{1/2}4\cdot\log_3 9:\log_7\frac17$; ж) $\log_3 25\cdot\log_5 27$. 3. Вычислить: а) $\log_3 8\cdot\log_2 27-3^{\log_9 25}$; б) $2^{4\log_2 3-1}+\log_9 3+\log_3 64\cdot\log_4 3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. Выяснить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение $\log_5(x^2-5x+6)$. Вычислить: а)…$ Фото задания

Вариант 2. Выяснить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение $\log_5(x^2-5x+6)$. Вычислить: а) $\log_{1/7}\frac{1}{49};\ \log_2 32$; б) $0{,}25^{\log_{1/4}7};\ 7^{\log_7 5}\cdot\log_3 27;\ \log_3 900-\log_3 100;\ 3\log_3 2+\log_3\frac14$; в) $\log_3\sqrt{27}$; г) $13^{\log_{13}7}-2;\ \log_{1/5}5+\log_{1/5}625;\ \log_{0{,}1}0{,}005-\log_{0{,}1}0{,}05$; д) $\frac{\log_{\sqrt3}25}{\log_3 5}$; е) $\log_{1/2}4\cdot\log_3 9:\log_7\frac17$; ж) $\log_3 25\cdot\log_5 27$. 3. Вычислить: а) $\log_3 8\cdot\log_2 27-3^{\log_9 25}$; б) $2^{4\log_2 3-1}+\log_9 3+\log_3 64\cdot\log_4 3$.

Accepted Answer

Для существования логарифма его аргумент должен быть положительным:

$x^2-5x+6>0$, то есть $(x-2)(x-3)>0$. Произведение положительно вне промежутка между корнями, поэтому $x<2$ или $x>3$.

Область определения: $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$.

а) $\log_{1/7}\frac1{49}=2$, поскольку $(1/7)^2=1/49$. Также $\log_2 32=5$, поскольку $2^5=32$.

б) $0{,}25^{\log_{1/4}7}=(1/4)^{\log_{1/4}7}=7$.

$7^{\log_7 5}\cdot\log_3 27=5\cdot3=15$.

$\log_3 900-\log_3 100=\log_3 9=2$.

$3\log_3 2+\log_3\frac14=\log_3 8+\log_3\frac14=\log_3 2$.

в) $\log_3\sqrt{27}=\log_3 3^{3/2}=\frac32$.

г) $13^{\log_{13}7}-2=7-2=5$.

$\log_{1/5}5+\log_{1/5}625=-1-4=-5$, так как $(1/5)^{-1}=5$, а $(1/5)^{-4}=625$.

$\log_{0{,}1}0{,}005-\log_{0{,}1}0{,}05=\log_{0{,}1}(0{,}005/0{,}05)=\log_{0{,}1}0{,}1=1$.

д) $\log_{\sqrt3}25=\frac{\ln25}{\ln\sqrt3}=4\log_3 5$, поэтому $\frac{\log_{\sqrt3}25}{\log_3 5}=4$.

е) $\log_{1/2}4\cdot\log_3 9:\log_7\frac17=(-2)\cdot2:(-1)=4$.

ж) $\log_3 25\cdot\log_5 27=(2\log_3 5)(3\log_5 3)=6$, поскольку $\log_3 5\cdot\log_5 3=1$.

3а) $\log_3 8\cdot\log_2 27=(3\log_3 2)(3\log_2 3)=9$. Кроме того, $\log_9 25=\log_3 5$, поэтому $3^{\log_9 25}=5$. Значит, значение выражения равно $9-5=4$.

3б) $2^{4\log_2 3-1}=2^{\log_2 81-1}=\frac{81}{2}$, $\log_9 3=\frac12$, а $\log_3 64\cdot\log_4 3=(6\log_3 2)\cdot\frac{1}{2\log_3 2}=3$. Сумма: $\frac{81}{2}+\frac12+3=44$.

Ответ: область определения — $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$; а) 2; 5; б) 7; 15; 2; $\log_3 2$; в) $\frac32$; г) 5; −5; 1; д) 4; е) 4; ж) 6; 3а) 4; 3б) 44.