Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 2. №1 Решите уравнения: а) (3x² - 2x - 5)(x + 2) = 0; б) x³ - 4x = 0. №2 Решите уравнения: а) (x² - 2x - 3) / (x - 3) = 0; б) 3 / (x² - 6x + 9) = 1 / (x + 3) - 6 / (9 - x²). №3 Решите задачу: Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. Поэтому он выточил за то же время на 12 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час вытачивает каждый токарь? №4 Решите уравнение: (x² + 3x)² - 14x² - 42x + 40 = 0.
Ответ:
Вариант 2
№1 Решите уравнения:
а) \( (3x^2 - 2x - 5)(x + 2) = 0 \)
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \).
Для \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \): \( D = (-2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 \), \( \sqrt{D} = 8 \).
\( x_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
\( x_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \).
Для \( x + 2 = 0 \): \( x = -2 \).
Ответ: \( x = -2, -1, \frac{5}{3} \).
б) \( x^3 - 4x = 0 \)
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(x^2 - 4) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x^2 - 4 = 0 \)
\( x^2 = 4 \) \( \implies \) \( x = \pm 2 \).
Ответ: \( x = 0, \pm 2 \).
№2 Решите уравнения:
а) \( \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} = 0 \)
Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \) и \( x - 3 \neq 0 \).
\( (x - 3)(x + 1) = 0 \)
\( x = 3 \) или \( x = -1 \).
Так как \( x \neq 3 \), то единственный корень \( x = -1 \).
Ответ: \( x = -1 \).
б) \( \frac{3}{x^2 - 6x + 9} = \frac{1}{x + 3} - \frac{6}{9 - x^2} \)
\( \frac{3}{(x - 3)^2} = \frac{1}{x + 3} - \frac{6}{(3 - x)(3 + x)} \)
\( \frac{3}{(x - 3)^2} = \frac{1}{x + 3} + \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} \)
Общий знаменатель \( (x - 3)^2(x + 3) \). Умножим обе части на него:
\( 3(x + 3) = 1(x - 3)(x + 3) + 6(x - 3) \)
\( 3x + 9 = x^2 - 9 + 6x - 18 \)
\( 3x + 9 = x^2 + 6x - 27 \)
\( x^2 + 3x - 36 = 0 \)
\( D = 3^2 - 4(1)(-36) = 9 + 144 = 153 \). \( \sqrt{153} = \sqrt{9 \times 17} = 3\sqrt{17} \).
\( x_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{17}}{2} \)
\( x_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{17}}{2} \).
Знаменатели не должны быть равны нулю: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).
Наши корни не равны 3 или -3.
Ответ: \( x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{17}}{2} \).
№3 Решите задачу:
Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. Поэтому он выточил за то же время на 12 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час вытачивает каждый токарь?
Пусть \( v_2 \) — количество деталей, которое вытачивает второй токарь в час.
Тогда \( v_1 = v_2 + 2 \) — количество деталей, которое вытачивает первый токарь в час.
Пусть \( t \) — время работы (в часах).
Общее количество деталей, выточенных первым токарем: \( N_1 = v_1 \times t = (v_2 + 2)t \).
Общее количество деталей, выточенных вторым токарем: \( N_2 = v_2 \times t \).
По условию, \( N_1 = N_2 + 12 \).
\( (v_2 + 2)t = v_2 t + 12 \)
\( v_2 t + 2t = v_2 t + 12 \)
\( 2t = 12 \)
\( t = 6 \) часов.
Теперь у нас есть время работы. Мы не можем найти \( v_1 \) и \( v_2 \) без дополнительного условия. Предположим, что в условии задачи имелось в виду, что они работали ОДНО И ТО ЖЕ время, и именно за это время первый выточил на 12 деталей больше.
Если мы предположим, что они работали ОДНО И ТО ЖЕ время, и за это время первый выточил на 12 деталей больше, тогда:
\( N_1 - N_2 = 12 \)
\( (v_2+2)t - v_2 t = 12 \)
\( v_2 t + 2t - v_2 t = 12 \)
\( 2t = 12 \) \( \implies \) \( t = 6 \) часов.
Мы знаем, что \( v_1 = v_2 + 2 \). Но мы не можем найти \( v_1 \) и \( v_2 \) без информации о том, сколько всего деталей было выточено или какое-то другое условие, связывающее \( v_1, v_2, \) и \( t \).
В условии задачи есть два варианта интерпретации: «Поэтому он выточил за то же время на 12 деталей больше, чем второй.» Если «за то же время» означает, что время одинаковое, то мы получили \( t = 6 \) часов. Но нам не хватает данных для нахождения \( v_1 \) и \( v_2 \).
Возможно, условие задачи звучало иначе. Если предположить, что первый токарь выточил 12 деталей БОЛЬШЕ, чем второй, ЗА ВСЁ время, и при этом скорость первого на 2 детали больше, и они работали ОДНО И ТО ЖЕ время, то мы можем найти скорости, если предположить, что в задаче пропущена информация о общем количестве деталей или времени.
Если задача звучит так: «Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. За ЧАСЫ работы он выточил на 12 деталей больше, чем второй». Это значит, что \( v_1 = v_2 + 2 \), а \( N_1 = N_2 + 12 \) за ОДИНАКОВОЕ время \( t \). Это приводит нас к \( t=6 \) часов, но не дает нам \( v_1 \) и \( v_2 \).
Если же условие такое: «Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. Он выточил 12 деталей, в то время как второй выточил на \( x \) деталей меньше».
Переформулируем задачу, предполагая, что время работы одинаково, и \( v_1 - v_2 = 2 \) и \( N_1 - N_2 = 12 \).
\( N_1 = v_1 t \)
\( N_2 = v_2 t \)
\( v_1 t - v_2 t = 12 \)
\( (v_1 - v_2)t = 12 \)
\( 2t = 12 \) \( \implies \) \( t = 6 \) часов.
Без дополнительной информации, сколько деталей выточил каждый, или сколько времени они работали, задача не решается однозначно.
Предполагая, что в задаче имелось в виду, что первый выточил 12 деталей, а второй на некоторое количество меньше, и что время работы одинаковое, но не указано:
Если предположить, что в задаче пропущено, что они работали Х часов, и за это время первый выточил на 12 деталей больше. Тогда \( (v_2+2)X - v_2 X = 12 \) \( \implies \) \( 2X = 12 \) \( \implies \) \( X=6 \) часов.
Далее, без информации о том, сколько всего деталей выточил первый или второй, или сколько деталей выточил каждый в час, задачу решить невозможно.
Предположим, что опечатка в условии, и должно быть: «Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. За 6 часов он выточил на 12 деталей больше, чем второй.»
Тогда: \( v_1 = v_2 + 2 \). Время \( t = 6 \) часов.
\( N_1 = v_1 \times 6 = (v_2 + 2) \times 6 = 6v_2 + 12 \)
\( N_2 = v_2 \times 6 = 6v_2 \)
\( N_1 = N_2 + 12 \)
\( 6v_2 + 12 = 6v_2 + 12 \). Это условие выполнено, но не дает нам \( v_1 \) и \( v_2 \).
Последняя интерпретация: Первый токарь вытачивает на 2 детали больше В ЧАС. За НЕКОТОРОЕ время Т он выточил на 12 деталей больше. Это значит, что \( v_1 = v_2 + 2 \) и \( v_1 t - v_2 t = 12 \). Подставляем \( v_1 \): \( (v_2+2)t - v_2 t = 12 \) \( \implies \) \( 2t = 12 \) \( \implies \) \( t=6 \) часов.
Если задача всё же имеет однозначное решение, то, скорее всего, пропущено какое-то дополнительное условие. Например, если бы было сказано, сколько деталей выточил один из токарей.
Оставим задачу без однозначного решения из-за недостатка данных.
№4 Решите уравнение:
\( (x^2 + 3x)^2 - 14x^2 - 42x + 40 = 0 \)
Заметим, что \( -14x^2 - 42x = -14(x^2 + 3x) \).
Сделаем замену \( y = x^2 + 3x \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 14y + 40 = 0 \)
\( D = (-14)^2 - 4(1)(40) = 196 - 160 = 36 \), \( \sqrt{D} = 6 \).
\( y_1 = \frac{14 + 6}{2} = 10 \)
\( y_2 = \frac{14 - 6}{2} = 4 \).
Возвращаемся к замене:
\( x^2 + 3x = 10 \) \( \implies \) \( x^2 + 3x - 10 = 0 \)
\( D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \), \( \sqrt{D} = 7 \).
\( x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \).
\( x^2 + 3x = 4 \) \( \implies \) \( x^2 + 3x - 4 = 0 \)
\( D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \), \( \sqrt{D} = 5 \).
\( x_3 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
\( x_4 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \).
Ответ: \( x = -5, -4, 1, 2 \).
