Вариант 2. 1. Найти значение выражения: 1) cos 315°, 2) sin(4π/3), 3) tg 210°. 2. Вычислить: cos α, sin 2α, если sin α = 9/13 и π/2 < α < π. 3. Упростить выражение: (sin α sin β - cos(α – β)) / ctg α. 4. Доказать тождество: (sin²(π - α) + cos 2α + sin(π/2 - α)) / (sin 2α + cos(3π/2 - α)) = 1/2 ctg α. 5. Решить уравнение: cos 5x cos 3x = 1 - sin 5x sin 3x.

Вариант 2

1. 1) Найти значение выражения:
   1. \( \cos 315^{\circ} = \cos (360^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   2. \( \sin \frac{4\pi}{3} = \sin (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
   3. \( \operatorname{tg} 210^{\circ} = \operatorname{tg} (180^{\circ} + 30^{\circ}) = \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
2. 2. Вычислить: \( \cos \alpha, \sin 2\alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{9}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

   Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (второй квадрант), \( \cos \alpha < 0 \).

   \( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{9}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{81}{169}} = -\sqrt{\frac{88}{169}} = -\frac{\sqrt{88}}{13} = -\frac{2\sqrt{22}}{13} \).

   \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{9}{13} \cdot (-\frac{2\sqrt{22}}{13}) = -\frac{36\sqrt{22}}{169} \).

3. 3. Упростить выражение:

   \( \frac{\sin \alpha \sin \beta - \cos (\alpha - \beta)}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \sin \beta - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2 \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} \)

   \( = (2 \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \sin^2 \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \)

   В задании, вероятно, опечатка. Если выражение в числителе \( \cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha \sin\beta \), то:

   \( \frac{\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha \sin\beta}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta}{\operatorname{ctg} \alpha} \).

   Если выражение в числителе \( \cos(\alpha + \beta) \):

   \( \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin\alpha\cos\beta - \operatorname{tg}\alpha\sin\alpha\sin\beta \).

   Примем, что в числителе \( \cos(\alpha + \beta) \) и в знаменателе \( \operatorname{tg} \alpha \).

   \( \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).

   Исходное выражение упрощается до:

   \( \frac{\sin \alpha \sin \beta - \cos (\alpha - \beta)}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \sin \beta - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} \)

   \( = (2\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta) \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin^2\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \).

   Без верной формулировки задания точное упрощение невозможно.

4. 4. Доказать тождество:

   Левая часть:

   \( \frac{\sin^2 (\pi - \alpha) + \cos 2\alpha + \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin 2\alpha + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{(\sin \alpha)^2 + (1 - 2\sin^2 \alpha) + \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha + (-\sin \alpha)} \)

   \( = \frac{\sin^2 \alpha + 1 - 2\sin^2 \alpha + \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{1 - \sin^2 \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} \)

   \( = \frac{\cos^2 \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} = \frac{\cos \alpha (\cos \alpha + 1)}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} \).

   Правая часть:

   \( \frac{1}{2} \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2} \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

   Тождество не доказывается. Есть вероятность ошибки в задании.

   Если в числителе \( \sin^2(\pi-\alpha) = \cos^2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \) как \( 2\cos^2\alpha - 1 \)

   \( \frac{\cos^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1 + \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{3\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1}{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)} \).

   Если в числителе \( \sin^2(\pi-\alpha) \) как \( \cos^2\alpha \), и \( \cos 2\alpha \) как \( 1-2\sin^2\alpha \), и \( \sin(\pi/2-\alpha) = \cos\alpha \), а в знаменателе \( 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha \)

   \( \frac{\cos^2\alpha + 1 - 2\sin^2\alpha + \cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + 1 - 2(1-\cos^2\alpha) + \cos\alpha}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \frac{\cos^2\alpha + 1 - 2 + 2\cos^2\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \frac{3\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} \).

   Тождество не доказывается.

5. 5. Решить уравнение: \( \cos 5x \cos 3x = 1 - \sin 5x \sin 3x \)

   Перенесём всё в одну сторону:

   \( \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x = 1 \)

   Используем формулу косинуса разности углов: \( \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

   \( \cos (5x - 3x) = 1 \)

   \( \cos 2x = 1 \)

   \( 2x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

   \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

   Ответ: \( x = \pi k \), где \( k ℤ \).