Вариант 2: 1. Изобразить случаи взаимного расположения прямой p и окружности с центром в точке K. 2. Прямая n является касательной к окружности с центром в точке A. Найти расстояние от центра окружности до данной прямой, если радиус окружности равен 6 см. 3. Используя рисунок, найти величины углов ABO, ACO, OAC, BAC, BOA, AOC, BOC. 4. Из точки M к окружности с центром O и MO=16 см проведены касательные MA и MB (A и B точки касания). Найти длины отрезков MA и MB, если \(\angle\) AOB = 60°. 5*. ABCD прямоугольник. Доказать, что прямая BC касается окружности с центром в точке D и радиуса DC.

Вариант 2

1. Случаи взаимного расположения прямой и окружности:

а) Прямая и окружность не пересекаются (расстояние от центра до прямой больше радиуса).

б) Прямая касается окружности (расстояние от центра до прямой равно радиусу).

в) Прямая пересекает окружность (расстояние от центра до прямой меньше радиуса).

2. Нахождение расстояния от центра до касательной:

Если прямая \( n \) является касательной к окружности с центром \( A \) и радиусом \( r = 6 \) см, то расстояние от центра \( A \) до прямой \( n \) равно радиусу.

Ответ: Расстояние равно 6 см.

3. Нахождение величин углов по рисунку:

На рисунке изображена окружность с центром \( O \) и точка \( A \). \( OA \) - радиус. Угол \( \angle AOC = 20^{\circ} \). \( AC \) - касательная. Точка \( B \) - точка на окружности.

Так как \( AC \) - касательная, то \( \angle OAC = 90^{\circ} \).

В \( \triangle OAC \): \( \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).

Углы \( \angle ABO \), \( \angle BAC \), \( \angle BOA \), \( \angle AOC \), \( \angle BOC \) не могут быть однозначно найдены без дополнительных условий или уточнений по рисунку.

Для точного решения необходимо уточнение рисунка или условий.

4. Нахождение длин отрезков касательных:

Из точки \( M \) к окружности с центром \( O \) проведены касательные \( MA \) и \( MB \). \( OA \) и \( OB \) - радиусы, \( OA \(\perp\)MA \), \( OB \(\perp\)MB \).

Рассмотрим \( \triangle MAO \). Это прямоугольный треугольник, так как \( \angle MAO = 90^{\circ} \). \( MO = 16 \) см.

В \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \) равны гипотенузы \( MO \) и равные катеты \( OA = OB \) (радиусы).

По условию \( \angle AOB = 60^{\circ} \). \( \triangle AOB \) - равнобедренный \( (OA=OB) \), так как \( \angle AOB = 60^{\circ} \), то \( \triangle AOB \) - равносторонний. Следовательно, \( OA = OB = AB = 60^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle MAO \): \( \angle MOA = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Тогда \( MA = MO \cdot \cos(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.

Так как \( MA = MB \), то \( MB = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: Длины отрезков \( MA \) и \( MB \) равны \( 8\sqrt{3} \) см.

5*. Доказательство касания прямой окружности:

Дано: \( ABCD \) - прямоугольник. Окружность с центром \( D \) и радиусом \( DC \).

Доказать: Прямая \( BC \) касается окружности.

Доказательство:

В прямоугольнике \( ABCD \) сторона \( BC \) перпендикулярна стороне \( CD \) (так как углы прямоугольника прямые, \( \angle BCD = 90^{\circ} \)).

Радиус окружности, проведенный из центра \( D \) к точке \( C \), равен \( DC \).

Прямая \( BC \) проходит через точку \( C \) и перпендикулярна радиусу \( DC \) в точке \( C \). Следовательно, прямая \( BC \) касается окружности в точке \( C \).

Доказано.