Вариант 16 15 В треугольнике ABC угол А равен 60°, угол В равен 45°, BC = 7√6. Найдите длину стороны AC. Ответ: 16 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках Н и С, причем AB=4, BC=32. Найдите длину отрезка АК. Ответ: 17 Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О, BC=4, AD=9. Найдите длину отрезка AO. Ответ: 26:2=13 18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен ромб. Найдите длину большей диагонали. Ответ: 10 19 Какое из следующих утверждений верно? 1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. 2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности. 3) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. В ответе запишите номер выбранного утверждения. Ответ:

Решение:

15.

В треугольнике ABC:

• Угол A = 60°


• Угол B = 45°


• BC = 7√6

Найдем угол C:

\( \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 45° = 75° \)

По теореме синусов:

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)

\( AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \)

\( AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} \)

\( AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

\( AC = \frac{7\sqrt{12}}{ \sqrt{3}} = 7 \sqrt{\frac{12}{3}} = 7 \sqrt{4} = 7 \cdot 2 = 14 \)

Ответ: 14

16.

По свойству касательной и секущей:

\( AK^2 = AN \cdot AC \)

AB = 4, BC = 32, значит AC = AB + BC = 4 + 32 = 36.

\( AK^2 = 4 \cdot 36 \)

\( AK^2 = 144 \)

\( AK = \sqrt{144} = 12 \)

Ответ: 12

17.

Трапеция ABCD, BC || AD.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

• BC = 4


• AD = 9

Треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам: \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные, \( \angle OBC = \angle ODA \) как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD, \( \angle OCB = \angle OAC \) как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC).

Отношение подобия равно отношению оснований:

\( \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{4} \)

AC = AO + OC = 26.

Пусть \( OC = 4x \), тогда \( AO = 9x \).

\( 9x + 4x = 26 \)

\( 13x = 26 \)

\( x = 2 \)

\( AO = 9x = 9 \cdot 2 = 18 \)

Ответ: 18

18.

Ромб изображен на клетчатой бумаге. Его диагонали разбивают его на 4 прямоугольных треугольника. Посчитаем количество клеток по каждой диагонали.

Большая диагональ состоит из 10 клеток. Меньшая диагональ состоит из 6 клеток.

Ответ: 10

19.

Проанализируем каждое утверждение:

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Это верное утверждение. Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.


2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности. Это неверное утверждение. Окружности могут пересекаться, быть касательными или не иметь общих точек, независимо от соотношения радиусов (если только один радиус не равен нулю). Главное условие пересечения — расстояние между центрами должно быть меньше суммы радиусов и больше разности радиусов.


3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Это неверное утверждение. Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является квадратом. Но не каждый прямоугольник — квадрат.

Ответ: 1