Вариант 1 1. Решите систему уравнений 3x - y = 3 5x + 2y = 16. 2. За 35 тетрадей в клетку и в линейку заплатили 870 р. Тетрадь в клетку стоит 20 р., а в линейку 30 р. Сколько купили тетрадей в клетку и сколько в линейку? 3. Решите систему уравнений 3-(x-2y) - 4y = 18 2x - 3y + 3 = 23x - y). 4. График линейной функции пересекает оси координат в точках (3; 0) и (0; -4). Задайте эту функцию формулой. 5. Имеет ли решения система 6x - y = 3 -15x + 3y = -9 и сколько?

Решение:

1. 1. Решение системы уравнений:
   Дано:
   \( 3x - y = 3 \)
   \( 5x + 2y = 16 \)
   Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 3x - 3 \).
   Подставим во второе уравнение:
   \[ 5x + 2(3x - 3) = 16 \]
   \[ 5x + 6x - 6 = 16 \]
   \[ 11x = 22 \]
   \[ x = 2 \]
   Найдём \( y \): \( y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \).
   Ответ: \( x = 2, y = 3 \).
2. 2. Задача про тетради:
   Пусть \( x \) — количество тетрадей в клетку, \( y \) — количество тетрадей в линейку.
   Дано:
   \( x + y = 35 \)
   \( 20x + 30y = 870 \)
   Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 35 - y \).
   Подставим во второе уравнение:
   \[ 20(35 - y) + 30y = 870 \]
   \[ 700 - 20y + 30y = 870 \]
   \[ 10y = 170 \]
   \[ y = 17 \]
   Найдём \( x \): \( x = 35 - 17 = 18 \>.
   Ответ: 18 тетрадей в клетку и 17 тетрадей в линейку.
3. 3. Решение системы уравнений:
   Дано:
   \[ 3 - (x - 2y) - 4y = 18 \]
   \[ 2x - 3y + 3 = 23x - y \]
   Упростим уравнения:
   \[ 3 - x + 2y - 4y = 18 \]
   \[ -x - 2y = 15 \]
   \[ 2x - y - 23x + 3y = -3 \]
   \[ -21x + 2y = -3 \]
   Теперь решим систему:
   \[ -x - 2y = 15 \]
   \[ -21x + 2y = -3 \]
   Сложим уравнения:
   \[ (-x - 2y) + (-21x + 2y) = 15 + (-3) \]
   \[ -22x = 12 \]
   \[ x = -\frac{12}{22} = -\frac{6}{11} \]
   Подставим \( x \) в первое уравнение:
   \[ -(-\frac{6}{11}) - 2y = 15 \]
   \[ \frac{6}{11} - 2y = 15 \]
   \[ -2y = 15 - \frac{6}{11} = \frac{165 - 6}{11} = \frac{159}{11} \]
   \[ y = -\frac{159}{22} \]
   Ответ: \( x = -\frac{6}{11}, y = -\frac{159}{22} \).
4. 4. Задание функции по точкам пересечения с осями:
   Линейная функция имеет вид \( y = kx + b \).
   Точка \( (3; 0) \) — пересечение с осью абсцисс (x-осью). Подставим:
   \[ 0 = k(3) + b \]
   \[ 3k + b = 0 \]
   Точка \( (0; -4) \) — пересечение с осью ординат (y-осью). Подставим:
   \[ -4 = k(0) + b \]
   \[ b = -4 \]
   Теперь найдём \( k \), подставив \( b \) в первое уравнение:
   \[ 3k - 4 = 0 \]
   \[ 3k = 4 \]
   \[ k = \frac{4}{3} \]
   Функция имеет вид \( y = \frac{4}{3}x - 4 \>.
   Ответ: \( y = \frac{4}{3}x - 4 \>.
5. 5. Решение системы уравнений:
   Дано:
   \[ 6x - y = 3 \]
   \[ -15x + 3y = -9 \]
   Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 6x - 3 \>.
   Подставим во второе уравнение:
   \[ -15x + 3(6x - 3) = -9 \]
   \[ -15x + 18x - 9 = -9 \]
   \[ 3x = 0 \]
   \[ x = 0 \]
   Подставим \( x \) в первое уравнение:
   \[ 6(0) - y = 3 \]
   \[ -y = 3 \]
   \[ y = -3 \]
   Проверим, является ли система зависимой. Разделим второе уравнение на 3: \( -5x + y = -3 \>.
   Из первого уравнения: \( y = 6x - 3 \>.
   Из второго уравнения: \( y = 5x - 3 \>.
   Система имеет бесконечное множество решений, так как второе уравнение является следствием первого (если умножить первое уравнение на -2.5, то получим второе уравнение).
   Ответ: система имеет бесконечное множество решений.