Вариант 1 1. Дано: ∠ACB = 90°, ∠DCB = 50°, CD — высота (рис. 4.171). Найти: острые углы ∆ABC. 2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14°. Найдите острые углы данного треугольника. 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Вариант 1

1. 
   

   Дано: \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle DCB = 50^{\circ} \), CD — высота.

   
   

   Решение:

   
   

   В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Высота CD делит прямой угол на два угла. Нам дан \( \angle DCB = 50^{\circ} \).

   
   

   Так как \( \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB \), то \( 90^{\circ} = \angle ACD + 50^{\circ} \), следовательно, \( \angle ACD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

   
   

   Рассмотрим прямоугольный \( \triangle BCD \). Сумма углов в \( \triangle BCD \) равна \( 180^{\circ} \). \( \angle CDB = 90^{\circ} \) (так как CD — высота). Следовательно, \( \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

   
   

   В прямоугольном \( \triangle ABC \) \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle CBD = 40^{\circ} \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \). \( \angle CAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

   
   

   Ответ: Острые углы \( \triangle ABC \) равны \( 50^{\circ} \) и \( 40^{\circ} \).

   
   


2. 
   

   Условие: Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен \( 14^{\circ} \). Найдите острые углы данного треугольника.

   
   

   Решение:

   
   

   Пусть \( \triangle ABC \) — прямоугольный с \( \angle C = 90^{\circ} \). Наибольший угол в прямоугольном треугольнике — прямой угол \( \angle C \). Проведем из вершины \( C \) биссектрису \( CL \) и высоту \( CH \). Угол между ними \( \angle LCH = 14^{\circ} \).

   
   

   Биссектриса \( CL \) делит \( \angle C \) пополам, значит, \( \angle ACL = \angle BCL = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

   
   

   В прямоугольном \( \triangle BCH \) \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle BCH = \angle BCL - \angle LCH = 45^{\circ} - 14^{\circ} = 31^{\circ} \).

   
   

   Сумма углов в \( \triangle BCH \): \( \angle CBH + \angle BCH + \angle BHC = 180^{\circ} \). \( \angle CBH + 31^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle CBH = 180^{\circ} - 121^{\circ} = 59^{\circ} \).

   
   

   В прямоугольном \( \triangle ABC \) острые углы — \( \angle A \) и \( \angle B \).

   
   

   \( \angle B = \angle CBH = 59^{\circ} \).

   
   

   \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \).

   
   

   Ответ: Острые углы треугольника равны \( 59^{\circ} \) и \( 31^{\circ} \).

   
   


3. 
   

   Условие: Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

   
   

   Доказательство:

   
   

   Рассмотрим два остроугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

   
   

   Пусть \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \). Из этого следует, что \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (\angle A_1 + \angle B_1) = \angle C_1 \).

   
   

   Пусть \( CH \) — высота, проведенная из вершины \( C \) в \( \triangle ABC \), и \( C_1H_1 \) — высота, проведенная из вершины \( C_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).

   
   

   По условию \( CH = C_1H_1 \).

   
   

   Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle ACH \) и \( \triangle A_1C_1H_1 \). У них \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle AHC = \angle A_1H_1C_1 = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ACH \) и \( \triangle A_1C_1H_1 \) равны по катету и острому углу (или по двум углам и прилежащему катету, если рассматривать \( \angle ACH = 90^{\circ} - \angle A \) и \( \angle A_1C_1H_1 = 90^{\circ} - \angle A_1 \), но \( \angle A = \angle A_1 \), поэтому \( \angle ACH = \angle A_1C_1H_1 \)).

   
   

   Из равенства \( \triangle ACH = \triangle A_1C_1H_1 \) следует, что \( AC = A_1C_1 \) и \( AH = A_1H_1 \).

   
   

   Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle BCH \) и \( \triangle B_1C_1H_1 \). У них \( \angle B = \angle B_1 \) и \( \angle BHC = \angle B_1H_1C_1 = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle BCH \) и \( \triangle B_1C_1H_1 \) равны по катету и острому углу.

   
   

   Из равенства \( \triangle BCH = \triangle B_1C_1H_1 \) следует, что \( BC = B_1C_1 \) и \( BH = B_1H_1 \).

   
   

   Таким образом, мы показали, что \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \) (как суммы соответствующих отрезков \( AH+HB=AB \) и \( A_1H_1+H_1B_1=A_1B_1 \), а также \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \)).

   
   

   Итак, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по стороне и двум прилежащим углам (или по двум сторонам и углу между ними, так как \( \angle C = \angle C_1 \)).

   
   

   Следовательно, остроугольные треугольники равны по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.