Вариант 1 1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Решение:

1. Так как AC — диаметр, то угол ABC и угол ADC — вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle ADC = 90^{\circ} \).

2. Хорды AB и AD равны радиусу окружности (r). Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

3. В треугольнике ABC: AC = 2r (диаметр), AB = r. Так как \( \angle ABC = 90^{\circ} \), то \( \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} \). Отсюда \( \angle ACB = 30^{\circ} \).

4. В прямоугольном треугольнике ABC сумма углов равна 180°, значит \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

5. В треугольнике ADC: AC = 2r, AD = r. Так как \( \angle ADC = 90^{\circ} \), то \( \sin(\angle ACD) = \frac{AD}{AC} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} \). Отсюда \( \angle ACD = 30^{\circ} \).

6. В прямоугольном треугольнике ADC сумма углов равна 180°, значит \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

7. Углы четырёхугольника ABCD:

• \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
• \( \angle B = 90^{\circ} \).
• \( \angle C = \angle ACB + \angle ACD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
• \( \angle D = 90^{\circ} \).

Проверка: сумма углов четырёхугольника \( 120^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 120^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}, \angle D = 90^{\circ} \).