Вариант 1 (задания) ВАРИАНТ 1 № 1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см. № 2. На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол KOL равен 160°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах. № 3. Прямая ВО ось симметрия угла АВС. Треугольник ВAC симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков АС и АС1, если ВА = 44 мм, ВС = 2,5 см. № 4. В треугольнике RQS известно, что RS = 8, ZR = 60°, ZS = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. № 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника KLM, в котором KL = LM # ZKLM = 100°. Найдите угол LOM. № 6. Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны. № 7. * Отрезки RQ и SD являются хордами окружности. Найдите длину хорды SD, если RQ = 10, а расстояния от центра окружности до хорд RQ и SD равны соответственно 12 и 5.

Краткое пояснение:

• В этом варианте представлены задачи по геометрии, требующие знания свойств окружностей, треугольников, касательных, а также применения теорем и признаков равенства фигур.

Решение:

• № 1: В прямоугольном треугольнике ОМК (угол ОKМ = 90°), ОМ = 10 см (гипотенуза), ОК = 5 см (катет). sin(∠MOK) = ОК/ОМ = 5/10 = 1/2. Следовательно, ∠MOK = 30°. Угол между касательными равен 2 * (90° - ∠MOK) = 2 * (90° - 30°) = 2 * 60° = 120°.
• № 2: Центральный угол KOL = 160°. Угол KLM - вписанный, опирающийся на дугу KL. Угол LOM - центральный, опирающийся на дугу LM. Дуга KL = 160°. Дуга LM = 360° - 160° - дуга MK (где K - точка на окружности). Так как LM - касательная, то угол OLM = 90°. В треугольнике KOL, OK=OL (радиусы), значит, он равнобедренный. ∠OKL = ∠OLK = (180° - 160°)/2 = 10°. Угол KLM = ∠OLM - ∠OLK = 90° - 10° = 80°.
• № 3: Так как ВО - ось симметрии угла ABC, то AB = BC (по условию не дано, что треугольник равнобедренный, поэтому это предположение некорректно). Треугольник BA1C1 симметричен ABC относительно ВО. Это значит, что BC1 = BC = 2,5 см, а BA1 = BA = 44 мм. AC = A1C. Так как нет информации о том, как расположены точки A и C относительно оси симметрии, однозначно определить AC нельзя.
• № 4: Треугольник RQS - прямоугольный (∠S = 90°). RS = 8. ∠R = 60°. Тогда ∠Q = 30°. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза RQ = RS / cos(60°) = 8 / (1/2) = 16. Радиус R = RQ / 2 = 16 / 2 = 8.
• № 5: Треугольник KLM - равнобедренный, KL = LM, ∠KLM = 100°. Сумма углов треугольника 180°, значит ∠LKM = ∠LMK = (180° - 100°) / 2 = 40°. Окружность описана около KLM. О - центр окружности. Угол LOM - центральный угол, опирающийся на дугу LM. Дуга LM = 2 * ∠LKM = 2 * 40° = 80°. Следовательно, ∠LOM = 80°.
• № 6: Треугольник ABC - равносторонний. Центр описанной окружности (О) равностороннего треугольника является также точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. AO = BO = CO (радиусы). AB = BC = AC. Треугольники ABO, BCO, ACO имеют равные стороны (AO=BO=CO, AB=BC=AC). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) треугольники ABO, BCO и ACO равны.
• № 7: Пусть R - радиус окружности. Хоpда RQ = 10. Расстояние от центра до хорды = 12. Половина хорды = 5. R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169. R = 13. Хоpда SD. Расстояние от центра до хорды = 5. Половина хорды SD/2. (SD/2)^2 + 5^2 = R^2 = 169. (SD/2)^2 = 169 - 25 = 144. SD/2 = 12. SD = 24.

Ответ:

• № 1: 120°
• № 2: 80°
• № 3: Недостаточно данных для однозначного ответа.
• № 4: 8
• № 5: 80°
• № 6: Доказано выше.
• № 7: 24