Вариант 1: 1. Упростите выражение (а+6)² - 2а (3-2а). 2. Решите систему уравнений: {5x-2y=11, 4x-y=4. 3. а) Постройте график функции у=2х-2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A (-10; -20). 4. Разложите на множители: a) 2a⁴b³-2a³b⁴+6a²b²; б) x²-3х-Зу - у². 5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Вариант 1

1. Упростим выражение:

   \( (a+6)^2 - 2a(3-2a) = (a^2 + 12a + 36) - (6a - 4a^2) = a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2 = 5a^2 + 6a + 36 \)

2. Решим систему уравнений:

   \( \begin{cases} 5x - 2y = 11 \\ 4x - y = 4 \end{cases} \)

   Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 4x - 4 \).

   Подставим в первое уравнение:

   \( 5x - 2(4x - 4) = 11 \)

   \( 5x - 8x + 8 = 11 \)

   \( -3x = 3 \)

   \( x = -1 \)

   Найдем \( y \): \( y = 4(-1) - 4 = -4 - 4 = -8 \)

3. а) Построим график функции \( y = 2x - 2 \).

   Это прямая. Найдем две точки:

   • При \( x = 0 \), \( y = 2(0) - 2 = -2 \). Точка (0, -2).
   • При \( x = 1 \), \( y = 2(1) - 2 = 0 \). Точка (1, 0).

   б) Проверим, проходит ли график через точку A (-10; -20).

   Подставим координаты точки в уравнение функции:

   \( -20 = 2(-10) - 2 \)

   \( -20 = -20 - 2 \)

   \( -20 = -22 \) — неверно.

4. Разложим на множители:

   а) \( 2a^4b^3 - 2a^3b^4 + 6a^2b^2 = 2a^2b^2(a^2b - ab^2 + 3) \)

   б) \( x^2 - 3x - 3y - y^2 \) — данное выражение не раскладывается на простые множители стандартными методами.

5. Решим задачу.

   Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки, \( v_т \) — скорость течения реки. \( v_т = 2 \) км/ч.

   Скорость плота \( v_{пл} = v_т = 2 \) км/ч.

   Скорость лодки по течению \( v_{л.по}} = v_л + v_т = v_л + 2 \) км/ч.

   Скорость лодки против течения \( v_{л.пр}} = v_л - v_т = v_л - 2 \) км/ч.

   Плот отправился из А. Через 1 час навстречу ему из В (30 км от А) вышла лодка. Они встретились через 2 часа после выхода лодки.

   За 2 часа лодка прошла расстояние \( S_л = v_{л.пр}} \cdot 2 = (v_л - 2) \cdot 2 \) км.

   За 3 часа (1 час до выхода лодки + 2 часа их движения) плот прошел расстояние \( S_{пл} = v_{пл} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6 \) км.

   Общее расстояние между А и В равно 30 км. Место встречи находится на расстоянии \( S_{пл} \) от А.

   \( S_{пл} + S_л = 30 \)

   \( 6 + (v_л - 2) \cdot 2 = 30 \)

   \( 6 + 2v_л - 4 = 30 \)

   \( 2 + 2v_л = 30 \)

   \( 2v_л = 28 \)

   \( v_л = 14 \) км/ч.

Ответ: 1. 5a² + 6a + 36. 2. x = -1, y = -8. 3. б) Нет. 4. а) 2a²b²(a²b - ab² + 3); б) не раскладывается. 5. 14 км/ч.