Вариант 1: 1. Упростите выражение: a) 3a²b · (-5a³b); б) (2x²y)³. 2. Решите уравнение 3x - 5(2x + 1) = 3(3 - 2x). 3. Разложите на множители: a) 2xy - 6y²; б) a³ - 4a. 4. Периметр треугольника АВС равен 50 см. Сторона АВ на 2 см больше стороны ВС, а сторона АС в 2 раза больше стороны ВС. Найдите стороны треугольника. 5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (a + c)(a - c) - b(2a - b) - (a - b + c)(a - b - c) = 0. 6. На графике функции y = 5x - 8 найдите точку, абсцисса которой противоположна её ординате.

Вариант 1

1. Упростите выражение:

   a) \( 3a^2b \cdot (-5a^3b) = -15a^{2+3}b^{1+1} = -15a^5b^2 \)

   б) \( (2x^2y)^3 = 2^3(x^2)^3y^3 = 8x^{2 \cdot 3}y^3 = 8x^6y^3 \)

2. Решите уравнение:

   \( 3x - 5(2x + 1) = 3(3 - 2x) \)

   \( 3x - 10x - 5 = 9 - 6x \)

   \( -7x - 5 = 9 - 6x \)

   \( -7x + 6x = 9 + 5 \)

   \( -x = 14 \)

   \( x = -14 \)

3. Разложите на множители:

   a) \( 2xy - 6y^2 = 2y(x - 3y) \)

   б) \( a^3 - 4a = a(a^2 - 4) = a(a - 2)(a + 2) \)

4. Стороны треугольника

   Пусть сторона ВС = \( x \) см.

   Тогда сторона АВ = \( x + 2 \) см.

   Сторона АС = \( 2x \) см.

   Периметр треугольника АВС = АВ + ВС + АС = \( (x+2) + x + 2x = 4x + 2 \) см.

   По условию периметр равен 50 см:

   \( 4x + 2 = 50 \)

   \( 4x = 48 \)

   \( x = 12 \)

   Значит, ВС = 12 см, АВ = 12 + 2 = 14 см, АС = 2 * 12 = 24 см.

5. Докажите равенство:

   Левая часть: \( (a+c)(a-c) - b(2a-b) - (a-b+c)(a-b-c) \)

   Раскроем скобки:

   \( (a^2 - c^2) - (2ab - b^2) - ((a-b)^2 - c^2) \)

   \( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2) \)

   \( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)

   Сгруппируем и приведём подобные члены:

   \( (a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 \)

   Равенство доказано.

6. Точка на графике функции

   График функции: \( y = 5x - 8 \)

   Искомая точка имеет координаты \( (x, y) \), где абсцисса \( x \) противоположна ординате \( y \), то есть \( x = -y \).

   Подставим \( x = -y \) в уравнение функции:

   \( y = 5(-y) - 8 \)

   \( y = -5y - 8 \)

   \( y + 5y = -8 \)

   \( 6y = -8 \)

   \( y = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)

   Теперь найдём \( x \): \( x = -y = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \)

   Точка имеет координаты \( (\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}) \).

Ответ: 1. а) -15a⁵b²; б) 8x⁶y³; 2. x = -14; 3. а) 2y(x - 3y); б) a(a - 2)(a + 2); 4. 14 см, 12 см, 24 см; 5. Равенство доказано; 6. (4/3, -4/3).