Вариант 1: №1. Упростить: 5a⁴ : a⁻¹⁵ №2. Привести одночлен к стандартному виду: 4a³b⁴a(-0,5) №3. Найти значение выражения: A = (2√2 - 1)(√8 + 1) - 8 1/7, если A = 14A №4. Найти значение выражения: 1/(2 - √3) + 1/(√3 - 1) + 1/(√2 - 1) №5. Найти 75% от 55%

Вариант 1

№1. Упрощение выражения

Чтобы упростить выражение 5a⁴ : a⁻¹⁵, нужно использовать свойство степеней с одинаковым основанием. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ 5a^4 : a^{-15} = 5a^{4 - (-15)} = 5a^{4+15} = 5a^{19} \]

№2. Приведение одночлена к стандартному виду

Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента и переменных, возведенных в степени. Для этого нужно перемножить числовые коэффициенты и сложить показатели степеней одинаковых переменных:

\[ 4a^3b^4a(-0.5) = (4 · -0.5) · (a^3 · a) · b^4 \]

\[ = -2 · a^{3+1} · b^4 \]

\[ = -2a^4b^4 \]

№3. Нахождение значения выражения

Сначала упростим выражение под корнем √8:

\[ √8 = √(4 · 2) = √4 · √2 = 2√2 \]

Теперь подставим это в основное выражение:

\[ A = (2√2 - 1)(2√2 + 1) - 8⅓ \]

Используем формулу разности квадратов (x - y)(x + y) = x^2 - y^2:

\[ A = (2√2)^2 - 1^2 - 8⅓ \]

\[ A = (4 · 2) - 1 - 8⅓ \]

\[ A = 8 - 1 - 8⅓ \]

\[ A = 7 - 8⅓ \]

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 7 - 8⅓ = 7 - ⅓ \]

\[ 7 = ⅓ \]

\[ A = ⅓ - ⅓ \]

\[ A = ⅓ \]

Ответ: 25/3

№4. Нахождение значения выражения

Чтобы найти значение выражения, сначала рационализируем знаменатели каждой дроби:

1. √(2 - √3) = √(2 - √3) · √(2 + √3) / √(2 + √3) = √(4 - 3) / √(2 + √3) = 1 / √(2 + √3)

2. √(√3 - 1) = √(√3 - 1) · √(√3 + 1) / √(√3 + 1) = √(3 - 1) / √(√3 + 1) = √2 / √(√3 + 1)

3. √(√2 - 1) = √(√2 - 1) · √(√2 + 1) / √(√2 + 1) = √(2 - 1) / √(√2 + 1) = 1 / √(√2 + 1)

Продолжаем рационализацию:

\[ rac{1}{2-√3} = rac{2+√3}{(2-√3)(2+√3)} = rac{2+√3}{4-3} = 2+√3 \]

\[ rac{1}{√3 - √2} = rac{√3 + √2}{(√3 - √2)(√3 + √2)} = rac{√3 + √2}{3-2} = √3 + √2 \]

\[ rac{1}{√2 - 1} = rac{√2 + 1}{(√2 - 1)(√2 + 1)} = rac{√2 + 1}{2-1} = √2 + 1 \]

Теперь сложим полученные выражения:

\[ (2+√3) + (√3 + √2) + (√2 + 1) = 2 + 1 + √3 + √3 + √2 + √2 \]

\[ = 3 + 2√3 + 2√2 \]

№5. Нахождение процента от числа

Чтобы найти 75% от 55%, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на число:

\[ 75% = 0.75 \]

\[ 0.75 · 55 = 41.25 \]

Вариант 2

№1. Упрощение выражения

Для упрощения выражения 4a⁶ : a⁻¹² используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

\[ 4a^6 : a^{-12} = 4a^{6 - (-12)} = 4a^{6+12} = 4a^{18} \]

№2. Приведение одночлена к стандартному виду

Для приведения одночлена 8pmn⁵/(-0,5) к стандартному виду, выполним деление:

\[ rac{8pmn^5}{-0.5} = rac{8}{-0.5} · pmn^5 \]

\[ = -16pmn^5 \]

№3. Нахождение значения выражения

Для нахождения значения выражения A = (3√2 - 2) ⋅ (√18 + 2) - 14√2, сначала упростим √18:

\[ √18 = √(9 · 2) = √9 · √2 = 3√2 \]

Подставим это в выражение:

\[ A = (3√2 - 2)(3√2 + 2) - 14√2 \]

Используем формулу разности квадратов (x - y)(x + y) = x^2 - y^2:

\[ A = (3√2)^2 - 2^2 - 14√2 \]

\[ A = (9 · 2) - 4 - 14√2 \]

\[ A = 18 - 4 - 14√2 \]

\[ A = 14 - 14√2 \]

№4. Нахождение значения выражения

Чтобы найти значение выражения, сначала рационализируем знаменатели каждой дроби:

\[ rac{1}{1+√2} = rac{1-√2}{(1+√2)(1-√2)} = rac{1-√2}{1-2} = rac{1-√2}{-1} = √2 - 1 \]

\[ rac{1}{√2 + √3} = rac{√3 - √2}{(√3 + √2)(√3 - √2)} = rac{√3 - √2}{3-2} = √3 - √2 \]

\[ rac{1}{√3 + 2} = rac{√3 - 2}{(√3 + 2)(√3 - 2)} = rac{√3 - 2}{3-4} = rac{√3 - 2}{-1} = 2 - √3 \]

Теперь сложим полученные выражения:

\[ (√2 - 1) + (√3 - √2) + (2 - √3) = √2 - 1 + √3 - √2 + 2 - √3 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ (√2 - √2) + (√3 - √3) + (-1 + 2) = 0 + 0 + 1 = 1 \]