Вариант 1. 1. Написать определение диаметра. 2. Начертить окружность радиусом 2,5 см. Отметить радиус, хорду. Провести касательную. 3. Найдите диаметр окружности, если известен радиус: R = 6 см. 4. К окружности с центром О проведена касательная АВ, где А – точка касания. Известно, что угол АВО = 45°, AB = 18. Найдите радиус окружности. 5. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ (А и B – точки касания). Отрезки ОМ и АВ пересекаются в точке С. Докажите, что С является серединой отрезка АВ.

1. Определение диаметра

Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Длина диаметра в два раза больше длины радиуса.

2. Построение окружности

1. Возьми циркуль и установи раствор, равный 2,5 см.
2. Поставь иголку циркуля в центр окружности (точка О) и проведи окружность.
3. Отметь центр О. Радиус — это отрезок от центра О до любой точки на окружности (например, ОА).
4. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности (например, CD).
5. Касательная — это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (точка касания, например, АВ — касательная к окружности в точке А).

3. Диаметр окружности

Дано:

Радиус окружности R = 6 см.

Найти:

Диаметр окружности D.

Решение:

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: $$D = 2R$$.

Подставим значение радиуса:

\[ D = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Ответ: 12 см.

4. Радиус окружности

Дано:

Окружность с центром О, касательная АВ, точка А — точка касания.

Угол АВО = 45°.

Длина отрезка AB = 18.

Найти:

Радиус окружности R.

Решение:

Так как АВ — касательная к окружности в точке А, то радиус ОА перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, треугольник ОАВ — прямоугольный с прямым углом при вершине А.

\[ \angle OAB = 90^{\circ} \]

В прямоугольном треугольнике ОАВ:

tg($$\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$) = tg(45°) = $$\frac{OA}{AB}$$

Мы знаем, что tg(45°) = 1.

\[ 1 = \frac{OA}{18} \]

Отсюда, $$OA = 18$$.

Радиус окружности равен длине отрезка ОА.

Ответ: 18.

5. Доказательство

Дано:

Окружность с центром О.

Касательные МА и МВ (А и В — точки касания).

Отрезки ОМ и АВ пересекаются в точке С.

Доказать:

Точка С является серединой отрезка АВ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ОМА и ОМВ:

1. ОА = ОВ (радиусы окружности).
2. МА = МВ (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
3. ОМ — общая сторона.

По трём сторонам, треугольники ОМА и ОМВ равны (по признаку равенства треугольников по трём сторонам).

Следовательно, соответствующие углы равны:

\[ \angle АОМ = \angle BOM \]

Теперь рассмотрим треугольники ОАС и ОВС:

1. ОА = ОВ (радиусы).
2. \[ \angle AOC = \angle BOC \] \(потому что old{\angle АОМ = \angle BOM}\).
3. ОС — общая сторона.

Треугольники ОАС и ОВС равны (по двум сторонам и углу между ними, т.е. по первому признаку равенства треугольников).

Следовательно, соответствующие стороны равны:

АС = ВС.

Это означает, что точка С делит отрезок АВ пополам, то есть является его серединой.

Что и требовалось доказать.