Вариант 1: 1. Изобразить случаи взаимного расположения прямой p и окружности с центром в точке K. 2. Прямая n является касательной к окружности с центром в точке A. Найти расстояние от центра окружности до данной прямой, если радиус окружности равен 9 см. 3. Используя рисунок, найти величины углов ABO, ACO, OAC, BAC, BOA, AOC, BOC. 4. Из точки A к окружности с центром O проведены касательные AB и AC (C и B - точки касания). Найти длины отрезков AB и AC, если \(\angle\) BAC = 90°, CO = 10 см. 5*. Точка D - середина основания AB равнобедренного треугольника ABC. Доказать, что прямая AB касается окружности с центром в точке C и радиуса CD.

Вариант 1

1. Случаи взаимного расположения прямой и окружности:

а) Прямая и окружность не пересекаются (расстояние от центра до прямой больше радиуса).

б) Прямая касается окружности (расстояние от центра до прямой равно радиусу).

в) Прямая пересекает окружность (расстояние от центра до прямой меньше радиуса).

Вариант 1

2. Нахождение расстояния от центра до касательной:

Если прямая \( n \) является касательной к окружности с центром \( A \) и радиусом \( r = 9 \) см, то расстояние от центра \( A \) до прямой \( n \) равно радиусу.

Ответ: Расстояние равно 9 см.

3. Нахождение величин углов по рисунку:

На рисунке изображен прямоугольный треугольник \( OAC \) с \( \angle OAC = 80^{\circ} \) и \( \angle AOC = 90^{\circ} \) (так как \( AC \) - касательная, \( OA \) - радиус, проведенный в точку касания). Угол \( OCA \) равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ} \).

Поскольку \( OA \) и \( OC \) - радиусы, \( \triangle AOC \) - равнобедренный. Угол \( \angle AOC \) не является прямым, судя по рисунку. В \( \triangle OAC \), \( \angle OAC = 80^{\circ} \). Если \( AC \) - касательная, то \( \angle OAC = 90^{\circ} \). Предположим, что \( \angle CAO = 80^{\circ} \) - это неверно, т.к. \( OA \) - радиус, \( AC \) - касательная, то \( \angle OAC = 90^{\circ} \). Исходя из рисунка, \( \angle COA = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle OAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ} \).

Примем, что \( \angle BAC = 80^{\circ} \) на рисунке. Если \( OA \) и \( OC \) - радиусы, \( \triangle OAC \) равнобедренный. \( \angle AOC \) не определен. Угол \( \angle COB \) тоже не определен.

Для точного решения необходимо уточнение рисунка или условий.

4. Нахождение длин отрезков касательных:

Так как \( AB \) и \( AC \) - касательные, проведенные из точки \( A \) к окружности с центром \( O \), то \( OB \) и \( OC \) - радиусы, и \( OB \(\perp\)AB \), \( OC \(\perp\)AC \).

В четырёхугольнике \( ABOC \), \( \angle ABO = \angle ACO = 90^{\circ} \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \), поэтому \( \angle BOC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAC \).

По условию \( \angle BAC = 90^{\circ} \), следовательно \( \angle BOC = 360^{\circ} - 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Так как \( \angle BAC = 90^{\circ} \) и \( \angle BOC = 90^{\circ} \), а \( OB = OC = 10 \) см (радиус), то \( ABOC \) является квадратом.

Следовательно, \( AB = AC = OB = OC = 10 \) см.

Ответ: Длины отрезков \( AB \) и \( AC \) равны 10 см.

5*. Доказательство касания прямой окружности:

Пусть \( \triangle ABC \) - равнобедренный с основанием \( AB \). \( D \) - середина \( AB \). \( CD \) - медиана, проведенная к основанию, следовательно, \( CD \) - высота, т.е. \( CD \(\perp\)AB \).

Рассмотрим окружность с центром в \( C \) и радиусом \( CD \). Так как \( CD \) - высота, то \( CD \) перпендикулярна прямой \( AB \) в точке \( D \). Следовательно, прямая \( AB \) касается окружности в точке \( D \).

Доказано.