Контрольные задания
Вопрос:

Вариант 1: 1. EK и EF — отрезки касательных, проведенные к окружности с центром O и радиусом, равным 6 см, ∠KOF = 120°, A — точка пересечения KF и OE. Найдите OA и AE. 2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Вариант 1


1. Решение:


В четырёхугольнике OKAF:


  • \( \angle OKF = \angle OFA = 90^{\circ} \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
  • \( \angle KOF = 120^{\circ} \) (дано).
  • Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \), поэтому \( \angle KAF = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  • В треугольнике \( \triangle OKF \) \( OK = OF = 6 \) см (радиус). \( \triangle OKF \) — равнобедренный.
  • \( \angle KOF = 120^{\circ} \), значит, \( \angle OKF = \angle OFK = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ} \).
  • В \( \triangle OAK \) \( \angle OKA = 90^{\circ} \) (радиус перпендикулярен касательной). \( \angle KAO = 60^{\circ} \) (так как \( \angle KAF = 60^{\circ} \)).
  • \( OA \) — гипотенуза, \( OK \) — катет, противолежащий углу \( \angle KAF \).
  • Используем соотношение: \( \sin(\angle KAF) = \frac{OK}{OA} \)
  • \( \sin(60^{\circ}) = \frac{6}{OA} \)
  • \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{OA} \)
  • \( OA = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
  • \( AE = OA - OE \). \( OE \) — радиус, \( OE = 6 \) см.
  • \( AE = 4\sqrt{3} - 6 \) см.

Ответ: OA = \( 4\sqrt{3} \) см, AE = \( 4\sqrt{3} - 6 \) см.


2. Построение:


Даны угол (вершина которого — точка) и отрезок (его длина — радиус окружности). Чтобы построить окружность, касающуюся сторон данного угла, радиус которой равен данному отрезку:



  1. Проведите биссектрису данного угла.

  2. Отложите на биссектрисе от вершины угла отрезок, равный данному отрезку. Это будет центр окружности (точка O).

  3. Из точки O проведите перпендикуляры к сторонам угла. Длины этих перпендикуляров будут равны данному отрезку (радиусу).

  4. Опишите окружность с центром O и радиусом, равным данному отрезку. Эта окружность будет касаться сторон угла в точках, определённых перпендикулярами.


Вариант 2


1. Решение:


В четырёхугольнике OMEN:


  • \( \angle OME = \angle ONE = 90^{\circ} \) (радиус перпендикулярен касательной).
  • \( \angle MON = 120^{\circ} \) (дано).
  • \( \angle MEN = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
  • \( OM = ON = 10 \) см (радиус).
  • \( \triangle OMN \) — равнобедренный. \( \angle OMN = \angle ONM = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ} \).
  • В \( \triangle OME \) \( \angle OME = 90^{\circ} \), \( \angle MEO = 60^{\circ} \).
  • \( OE \) — гипотенуза, \( OM \) — катет, противолежащий \( \angle MEO \).
  • \( \sin(\angle MEO) = \frac{OM}{OE} \)
  • \( \sin(60^{\circ}) = \frac{10}{OE} \)
  • \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{OE} \)
  • \( OE = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.
  • \( PE = OE - OP \). \( OP \) — радиус, \( OP = 10 \) см.
  • \( PE = \frac{20\sqrt{3}}{3} - 10 \) см.

Ответ: OE = \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см, PE = \( \frac{20\sqrt{3}}{3} - 10 \) см.


2. Построение:


Даны угол и отрезок. Чтобы построить окружность, касающуюся сторон данного угла, с центром, удалённым от вершины угла на расстояние, равное длине данного отрезка:



  1. Проведите биссектрису данного угла.

  2. Отложите на биссектрисе от вершины угла отрезок, равный данному отрезку. Это будет центр окружности (точка O).

  3. Из центра O проведите перпендикуляры к сторонам угла. Длины этих перпендикуляров будут радиусами окружности.

  4. Постройте окружность с центром O и радиусом, равным длине перпендикуляра. Эта окружность будет касаться сторон угла.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание