Вариант 1: 1. Дано: \(\angle ACB = 90^\circ, \angle DCB = 50^\circ, CD - высота (рис. 4.171). Найти: острые углы \(\triangle ABC\). 2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14°. Найдите острые углы данного треугольника. 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Вариант 1

1. 1. Нахождение острых углов \(\triangle ABC\):
   В \(\triangle CDB\) \(\angle CDB = 90^\circ\) (так как CD - высота) и \(\angle DCB = 50^\circ\).
   Сумма углов в \(\triangle CDB\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
   В \(\triangle ABC\) \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle ABC = 40^\circ\).
   Сумма углов в \(\triangle ABC\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
2. 2. Нахождение острых углов прямоугольного треугольника:
   Пусть \(\angle A\) и \(\angle B\) — острые углы прямоугольного треугольника. Наибольший угол — прямой \(90^\circ\).
   Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла (вершины прямого угла), равен \(|\angle A - \angle B| / 2\).
   Нам дано, что этот угол равен \(14^\circ\).
   \(|\angle A - \angle B| / 2 = 14^\circ\) \( \implies |\angle A - \angle B| = 28^\circ \).
   Также мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 90^\circ\).
   Решим систему уравнений:
   \(\begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ \angle A - \angle B = 28^\circ \end{cases}\) (предполагаем \(\angle A > \angle B\)
   Сложим уравнения: \(2\angle A = 118^\circ \implies \angle A = 59^\circ\).
   Подставим \(\angle A = 59^\circ\) в первое уравнение: \(59^\circ + \angle B = 90^\circ \implies \angle B = 31^\circ\).
   Если предположить \(\angle B > \angle A\), то \(\angle B - \angle A = 28^\circ\), и получим \(\angle A = 31^\circ\), \(\angle B = 59^\circ\).
   Таким образом, острые углы равны \(31^\circ\) и \(59^\circ\).
3. 3. Доказательство равенства остроугольных треугольников:
   Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) — остроугольные.
   Высота \(h_c\) проведена из вершины \(C\) в \(\triangle ABC\), высота \(h_{c_1}\) проведена из вершины \(C_1\) в \(\triangle A_1B_1C_1\).
   Условие: \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(h_c = h_{c_1}\).
   Доказательство:
   В остроугольном треугольнике наибольший угол находится напротив наибольшей стороны. Остроугольный треугольник имеет три острых угла. Высота, проведенная из вершины третьего угла, означает, что она проведена из вершины угла, отличного от двух данных. Пусть даны углы \(A\) и \(B\), и высота \(h_c\) из \(C\).
   В \(\triangle ABC\): \(\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)\).
   В \(\triangle A_1B_1C_1\): \(\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)\).
   Так как \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(\angle C = \angle C_1\).
   Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой \(h_c\): \(\triangle ADC\) и \(\triangle BDC\), и соответствующие им \(\triangle A_1D_1C_1\) и \(\triangle B_1D_1C_1\).
   В \(\triangle ADC\) и \(\triangle A_1D_1C_1\): \(\angle A = \angle A_1\) (по условию), \(\angle ADC = \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ\) (так как \(CD\) и \(C_1D_1\) — высоты).
   Следовательно, \(\triangle ADC \sim \triangle A_1D_1C_1\) по двум углам.
   Из подобия следует: \(\frac{AD}{A_1D_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).
   Так как \(CD = C_1D_1\) (по условию), то \(\frac{AD}{A_1D_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).
   Аналогично, из \(\triangle BDC \sim \triangle B_1D_1C_1\), получим \(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{BC}{B_1C_1}\).
   Так как \(CD = C_1D_1\), то \(\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{BC}{B_1C_1}\).
   Из \(\triangle ADC \sim \triangle A_1D_1C_1\), имеем \(AC = \frac{CD}{\sin A}\) и \(A_1C_1 = \frac{C_1D_1}{\sin A_1}\). Так как \(CD = C_1D_1\) и \(\angle A = \angle A_1\), то \(AC = A_1C_1\).
   Из \(\triangle BDC \sim \triangle B_1D_1C_1\), имеем \(BC = \frac{CD}{\sin B}\) и \(B_1C_1 = \frac{C_1D_1}{\sin B_1}\). Так как \(CD = C_1D_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(BC = B_1C_1\).
   Таким образом, \(AC = A_1C_1\) и \(BC = B_1C_1\).
   Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними (\(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C_1\), \(\angle C = \angle C_1\)), или по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из них (например, \(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\)).
   Теорема доказана.

Ответ: 1. Острые углы \(\triangle ABC\) равны \(50^\circ\) и \(40^\circ\). 2. Острые углы треугольника равны \(31^\circ\) и \(59^\circ\). 3. Доказано.