Контрольные задания
Вопрос:

Вариант 1. 1. AB и AC — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 9 см. Найдите длины отрезков AC и AO, если AB = 12 см. 2. Дано: ∠OAB : ∠UBC = 11 : 12 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, ∠BAC. 3. Хорды MN и PK пересекаются в точке E так, что ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Найдите PK. 4*. Окружность с центром O и радиусом 16 см описана около треугольника ABC так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны AB и BC треугольника. Вариант 2. 1. MN и MK — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см. 2. Дано: ∠OAB : ∠AC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: ∠BOC, ∠ABC. 3. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD. 4*. Окружность с центром O и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Вариант 1

  1. 1. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( AC = AB \). Так как \( AB = 12 \) см, то \( AC = 12 \) см. \( AO \) — это радиус, проведенный в точку касания, поэтому \( AO \perp AB \). \( \triangle AOB \) — прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора \( AO^2 + AB^2 = OB^2 \). Так как \( OB \) — радиус, \( OB = 9 \) см. \( AO^2 + 12^2 = 9^2 \) → \( AO^2 + 144 = 81 \). Это невозможно, так как \( AO^2 \) не может быть отрицательным. Вероятно, в условии задачи опечатка: \( AO \) должно быть радиусом, а \( AB \) и \( AC \) — касательными. Если \( AO = 9 \) см, то \( OB = 9 \) см (радиус). \( AB \) и \( AC \) — касательные, \( AB = AC \). \( \triangle AOB \) — прямоугольный. \( AO^2 + AB^2 = OB^2 \) → \( 9^2 + AB^2 = 9^2 \) → \( AB = 0 \), что тоже невозможно. Если \( OB = 9 \) см (радиус), \( AB = 12 \) см (касательная), то \( AO \) — это расстояние от точки \( A \) до центра окружности. \( AO^2 + OB^2 = AB^2 \) → \( AO^2 + 9^2 = 12^2 \) → \( AO^2 + 81 = 144 \) → \( AO^2 = 63 \) → \( AO = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \) см. В этом случае \( AC = AB = 12 \) см.
  2. 2. На рисунке 8.178 изображен треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. \( OA=OB=OC=R \) (радиус окружности). \( \triangle OAB \), \( \triangle OBC \), \( \triangle OAC \) — равнобедренные. \( \angle OAB = \angle OBA \), \( \angle OBC = \angle OCB \), \( \angle OAC = \angle OCA \). Дано \( \angle OAB : \angle OBC = 11:12 \). Пусть \( \angle OAB = 11x \), \( \angle OBC = 12x \). Тогда \( \angle OBA = 11x \), \( \angle OCB = 12x \). \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 11x + \angle OAC \). \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 11x + 12x = 23x \). \( \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = 12x + \angle OCA \). Сумма углов треугольника \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \). \( (11x + \angle OAC) + 23x + (12x + \angle OCA) = 180^{\circ} \). \( 46x + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \). Так как \( \angle OAC = \angle OCA \), то \( 46x + 2\angle OAC = 180^{\circ} \). \( 23x + \angle OAC = 90^{\circ} \). \( \angle OAC = 90^{\circ} - 23x \). Тогда \( \angle BAC = 11x + (90^{\circ} - 23x) = 90^{\circ} - 12x \). \( \angle BCA = 12x + (90^{\circ} - 23x) = 90^{\circ} - 11x \). Проверим сумму углов: \( (90^{\circ} - 12x) + 23x + (90^{\circ} - 11x) = 180^{\circ} \). \( 180^{\circ} = 180^{\circ} \). Для того, чтобы найти \( x \), нужно больше информации. Если предположить, что \( \angle OAB \) и \( \angle UBC \) — это центральные углы, то это противоречит обозначению \( \angle OAB \). По рисунку \( \angle AOC = 130^{\circ} \). \( \angle AOC = \angle OAC + \angle OCA = 2 \angle OAC \). \( \angle OAC = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \). Тогда \( \angle BAC = 65^{\circ} \). \( \angle OAB = \angle OBA \), \( \angle OBC = \angle OCB \). \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC \), \( \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA \). \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \). \( 65^{\circ} + (\angle OBA + \angle OBC) + (\angle OBC + 65^{\circ}) = 180^{\circ} \) → \( 130^{\circ} + \angle OBA + 2\angle OBC = 180^{\circ} \) → \( \angle OBA + 2\angle OBC = 50^{\circ} \). Дано \( \angle OAB : \angle OBC = 11:12 \). \( \angle OBA = \angle OAB \). \( \angle OAB + 2\angle OBC = 50^{\circ} \). \( \angle OAB / \angle OBC = 11/12 \) → \( \angle OAB = \frac{11}{12} \angle OBC \). \( \frac{11}{12} \angle OBC + 2\angle OBC = 50^{\circ} \) → \( (\frac{11}{12} + 2) \angle OBC = 50^{\circ} \) → \( \frac{35}{12} \angle OBC = 50^{\circ} \) → \( \angle OBC = \frac{50 \cdot 12}{35} = \frac{10 \cdot 12}{7} = \frac{120}{7} \approx 17.14^{\circ} \). \( \angle OAB = \frac{11}{12} \cdot \frac{120}{7} = \frac{110}{7} \approx 15.71^{\circ} \). \( \angle BAC = 65^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = \angle OAB + \angle OBC = \frac{110}{7} + \frac{120}{7} = \frac{230}{7} \approx 32.86^{\circ} \). \( \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = \angle OBC + \angle OAC = \frac{120}{7} + 65^{\circ} = \frac{120 + 455}{7} = \frac{575}{7} \approx 82.14^{\circ} \). Сумма: \( 65^{\circ} + \frac{230}{7} + \frac{575}{7} = 65^{\circ} + \frac{805}{7} = 65^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ} \).
  3. 3. По теореме о пересекающихся хордах: \( ME · NE = PE · KE \). Дано: \( ME = 12 \) см, \( NE = 3 \) см, \( PE = KE \). \( 12 · 3 = PE · PE \) → \( 36 = PE^2 \) → \( PE = 6 \) см. Так как \( PE = KE \), то \( KE = 6 \) см. \( PK = PE + KE = 6 + 6 = 12 \) см.
  4. 4. Радиус описанной окружности \( R = 16 \) см. \( \angle OAB = 30^{\circ} \), \( \angle OCB = 45^{\circ} \). \( \triangle OAB \) и \( \triangle OBC \) — равнобедренные, так как \( OA = OB = OC = R = 16 \). \( \angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ} \). \( \angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ} \). \( AB \) — сторона треугольника. В \( \triangle OAB \) по теореме косинусов: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 · OA · OB · \cos(\angle AOB) \). \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). \( AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 · 16 · 16 · \cos(120^{\circ}) \) → \( AB^2 = 256 + 256 - 2 · 256 · (-\frac{1}{2}) \) → \( AB^2 = 512 + 256 = 768 \) → \( AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 · 3} = 16\sqrt{3} \) см. \( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). \( BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 · OB · OC · \cos(90^{\circ}) \) → \( BC^2 = 16^2 + 16^2 - 0 = 256 + 256 = 512 \) → \( BC = \sqrt{512} = \sqrt{256 · 2} = 16\sqrt{2} \) см.

Вариант 2

  1. 1. \( MN \) и \( MK \) — отрезки касательных, проведенные из точки \( M \) к окружности с центром \( O \). \( MO = 13 \) см, радиус \( R = 5 \) см. \( ON µ ON = OM \) — гипотенуза в прямоугольном \( \triangle MNO \) и \( \triangle MKO \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). \( MN^2 + ON^2 = MO^2 \) → \( MN^2 + 5^2 = 13^2 \) → \( MN^2 + 25 = 169 \) → \( MN^2 = 144 \) → \( MN = 12 \) см. Так как \( MN = MK \) (отрезки касательных из одной точки), то \( MK = 12 \) см.
  2. 2. На рисунке 8.179 изображена окружность с центром O. \( OA = OC = R \). \( \triangle OAC \) — равнобедренный. \( \angle OAC = \angle OCA \). Дано \( \angle OAB : \angle AC = 5:3 \). Непонятно, что такое \( \angle AC \). Предположим, что \( \angle OAC \). Тогда \( \angle OAB : \angle OAC = 5:3 \). \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC \). \( \angle ABC \) и \( \angle BOC \) найти. Если \( \angle BAC = 60^{\circ} \) (по рисунку), то \( \angle ABC = 60^{\circ} \) (по рисунку). Это равносторонний треугольник. Тогда \( \angle OAB = \angle OAC = 30^{\circ} \). \( \angle BAC = 60^{\circ} \). \( \angle ABC = 60^{\circ} \). \( \angle BCA = 60^{\circ} \). \( OA = OB = OC = R \). \( \triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OAC \) — равнобедренные. \( \angle OAB = \angle OBA = 30^{\circ} \). \( \angle OBC = \angle OCB \). \( \angle OAC = \angle OCA \). \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 30^{\circ} + \angle OBC = 60^{\circ} \) → \( \angle OBC = 30^{\circ} \). \( \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = \angle OBC + \angle OCA = 30^{\circ} + \angle OCA = 60^{\circ} \) → \( \angle OCA = 30^{\circ} \). \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^{\circ} + \angle OAC = 60^{\circ} \) → \( \angle OAC = 30^{\circ} \). Все углы при основании равны 30, значит \( \triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OAC \) — равнобедренные с углами при основании 30. \( \angle AOB = 180 - (30+30) = 120^{\circ} \). \( \angle BOC = 180 - (30+30) = 120^{\circ} \). \( \angle AOC = 180 - (30+30) = 120^{\circ} \). Сумма центральных углов \( 120+120+120 = 360^{\circ} \). Условие \( \angle OAB : \angle OAC = 5:3 \) не выполняется, так как \( 30:30 = 1:1 \). Предположим, что \( \angle BAC = 60^{\circ} \) по рисунку, и \( \angle OAB : \angle BAC = 5:3 \) → \( \angle OAB = 5x \), \( \angle BAC = 3x \). \( 3x = 60^{\circ} \) → \( x = 20^{\circ} \). \( \angle OAB = 5 · 20^{\circ} = 100^{\circ} \), что невозможно в равнобедренном \( \triangle OAB \). Если \( \angle BAC = 60^{\circ} \), \( \angle ABC = 60^{\circ} \). \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( \angle OAB = \angle OAC = 30^{\circ} \). \( \angle OBA = \angle OBC = 30^{\circ} \). \( \angle OCB = \angle OCA = 30^{\circ} \). \( \angle BOC = 180 - (30+30) = 120^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 30+30 = 60^{\circ} \). Дано \( \angle OAB : \angle AC = 5:3 \). Если \( \angle AC \) — это \( \angle OAC \), то \( \angle OAB = 30^{\circ} \), \( \angle OAC = 30^{\circ} \). \( 30 : 30 = 1:1 \), что не равно \( 5:3 \). Возможно, \( \angle AOB : \angle AOC = 5:3 \).
  3. 3. Хорды \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( F \). По теореме о пересекающихся хордах: \( AF · BF = CF · DF \). Дано: \( AF = 4 \) см, \( BF = 16 \) см, \( CF = DF \). \( 4 · 16 = CF · CF \) → \( 64 = CF^2 \) → \( CF = 8 \) см. Так как \( CF = DF \), то \( DF = 8 \) см. \( CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 \) см.
  4. 4. Радиус описанной окружности \( R = 12 \) см. \( \angle MON = 120^{\circ} \), \( \angle NOK = 90^{\circ} \). \( \triangle MON \) и \( \triangle NOK \) — равнобедренные, так как \( OM = ON = OK = R = 12 \). \( MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 · OM · ON · \cos(120^{\circ}) \) → \( MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 · 12 · 12 · (-\frac{1}{2}) \) → \( MN^2 = 144 + 144 + 144 = 3 · 144 \) → \( MN = 12\sqrt{3} \) см. \( NK^2 = ON^2 + OK^2 - 2 · ON · OK · \cos(90^{\circ}) \) → \( NK^2 = 12^2 + 12^2 - 0 = 144 + 144 = 2 · 144 \) → \( NK = 12\sqrt{2} \) см.
📄 Все ответы📸 Решить моё задание