Вариант 2. 1. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны: а) 11. 9. 13; б) 6, 8, 10 2. Найдите площадь треугольника по формуле Герона. а= 15, b = 15, c = 18 3. Найдите высоты треугольника со сторонами а= 36, b = 25, c = 29

Задание 1.

Необходимо выяснить, является ли треугольник прямоугольным, если известны его стороны. Для этого нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

а) Стороны треугольника: 11, 9, 13.

1. Определим, какая сторона может быть гипотенузой (самая длинная сторона): $$c = 13$$
2. Проверим теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$
3. Подставим значения: $$11^2 + 9^2 = 13^2$$
4. Вычислим квадраты: $$121 + 81 = 169$$
5. Сложим числа слева: $$202 = 169$$
6. Сравним значения: $$202
   e 169$$
7. Так как равенство не выполняется, треугольник не является прямоугольным.

Ответ: треугольник со сторонами 11, 9, 13 не является прямоугольным.

б) Стороны треугольника: 6, 8, 10

1. Определим, какая сторона может быть гипотенузой (самая длинная сторона): $$c = 10$$
2. Проверим теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$
3. Подставим значения: $$6^2 + 8^2 = 10^2$$
4. Вычислим квадраты: $$36 + 64 = 100$$
5. Сложим числа слева: $$100 = 100$$
6. Сравним значения: $$100 = 100$$
7. Так как равенство выполняется, треугольник является прямоугольным.

Ответ: треугольник со сторонами 6, 8, 10 является прямоугольным.

---

Задание 2.

Найдите площадь треугольника по формуле Герона, если a = 15, b = 15, c = 18.

1. Формула Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр треугольника.
2. Найдем полупериметр: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$
3. Подставим значения: $$p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24$$
4. Теперь найдем площадь: $$S = \sqrt{24(24-15)(24-15)(24-18)}$$
5. Вычислим значения в скобках: $$S = \sqrt{24(9)(9)(6)}$$
6. Разложим числа на простые множители: $$S = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 3}$$
7. Перегруппируем множители: $$S = \sqrt{2^4 \cdot 3^6}$$
8. Вынесем множители из-под корня: $$S = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$$

Ответ: Площадь треугольника равна 108.

---

Задание 3.

Найдите высоты треугольника со сторонами a = 36, b = 25, c = 29.

1. Для нахождения высот используем формулу площади треугольника через полупериметр (формула Герона) и формулу площади через основание и высоту: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c$$
2. Сначала найдем площадь по формуле Герона:
   • Полупериметр: $$p = \frac{36 + 25 + 29}{2} = \frac{90}{2} = 45$$
   • Площадь: $$S = \sqrt{45(45-36)(45-25)(45-29)} = \sqrt{45(9)(20)(16)}$$
   • Разложим на множители: $$S = \sqrt{5 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 2^4} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$$
3. Теперь найдем высоты, используя формулу $$S = \frac{1}{2} a h_a$$:
   • Высота к стороне a: $$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 360}{36} = \frac{720}{36} = 20$$
   • Высота к стороне b: $$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 360}{25} = \frac{720}{25} = 28.8$$
   • Высота к стороне c: $$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 360}{29} = \frac{720}{29} \approx 24.83$$

Ответ: Высоты треугольника равны: $$h_a = 20$$, $$h_b = 28.8$$, $$h_c \approx 24.83$$.